九州大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
時刻 $n$ に頂点Aにいる確率は $a_n$ であり、頂点B,C,Dにいる確率の和は $b_n+c_n+d_n=1-a_n$ である。遷移規則から、時刻 $n+1$ にAにいる確率は $${\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{1}{3}(b_n+c_n+d_n)}$$ である。したがって $${\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{1}{3}(1-a_n)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{a}_n}$$ である。

初期状態では点PはBにいるので $a_0=0$ である。この漸化式の一定値を $A$ とすると $${\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}A}$$ より $${\displaystyle A=\frac{2}{5}}$$ である。よって $${\displaystyle a_{n+1}-\frac{2}{5}=\frac{1}{6}(a_n-\frac{2}{5})}$$ であり、$$a_n-\frac{2}{5}={\left(\frac{1}{6}\right)}^n(a_0-\frac{2}{5})=-\frac{2}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n$$となる。したがって $${\displaystyle a_n=\frac{2}{5}\{1-{\left(\frac{1}{6}\right)}^n\}}$$ である。

(2)
差を $$x_n=b_n-c_n,y_n=c_n-d_n$$ とおく。まず遷移規則から $${\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{6}{a}_n+\frac{1}{3}{b}_n+\frac{1}{3}{d}_n,}$$ $${\displaystyle c_{n+1}=\frac{1}{6}{a}_n+\frac{1}{3}{b}_n+\frac{1}{3}{c}_n,}$$ $${\displaystyle d_{n+1}=\frac{1}{6}{a}_n+\frac{1}{3}{c}_n+\frac{1}{3}{d}_n}$$ である。したがって $${\displaystyle x_{n+1}=b_{n+1}-c_{n+1}=-\frac{1}{3}(c_n-d_n)=-\frac{1}{3}{y}_n}$$ であり、$${\displaystyle y_{n+1}=c_{n+1}-d_{n+1}=\frac{1}{3}(b_n-d_n)=\frac{1}{3}(x_n+y_n)}$$ である。

これを3回繰り返すと $${\displaystyle x_{n+3}=-\frac{1}{27}{x}_n,y_{n+3}=-\frac{1}{27}{y}_n}$$ となる。実際、1回目で $${\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1})=(-\frac{1}{3}{y}_n,\frac{1}{3}(x_n+y_n))}$$ であり、さらに計算すると3回後には上の式になる。

初期状態は $$a_0=0,b_0=1,c_0=d_0=0$$ だから $$x_0=b_0-c_0=1,y_0=c_0-d_0=0$$ である。したがって $n=3m$ のとき $${\displaystyle b_n-c_n=x_n={(-\frac{1}{27})}^m}$$ であり、$c_n-d_n=y_n=0$ である。

(3) $n=3m$ とする。(2)より $c_n=d_n$ である。また $b_n+c_n+d_n=1-a_n$ である。ここで $${\displaystyle \delta ={(-\frac{1}{27})}^m}$$ とおくと $b_n-c_n=\delta$ である。 $c_n=d_n$ だから $b_n+2c_n=1-a_n$ であり、$b_n=c_n+\delta$ を代入すると $3c_n+\delta =1-a_n$ である。したがって $${\displaystyle c_n=d_n=\frac{1-a_n-\delta }{3}}$$ であり、$${\displaystyle b_n=c_n+\delta =\frac{1-a_n+2\delta }{3}}$$ である。

(1) より $${\displaystyle a_n=\frac{2}{5}\{1-{\left(\frac{1}{6}\right)}^n\}}$$ だから、$n=3m$ のとき $${\displaystyle b_n=\frac{1-a_n+2{(-\frac{1}{27})}^m}{3},}$$ $${\displaystyle c_n=d_n=\frac{1-a_n-{(-\frac{1}{27})}^m}{3}}$$ である。すなわち明示的には$$b_n=\frac{1}{5}+\frac{2}{15}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n+\frac{2}{3}{(-\frac{1}{27})}^m,$$$$c_n=d_n=\frac{1}{5}+\frac{2}{15}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{27})}^m$$である。

まず $a_n$ は他の3頂点の確率和だけで閉じた1次漸化式になる。残る $b_n,c_n,d_n$ は ${\omega }^3=1$ を用いて $z_n=b_n+\omega c_n+{\omega }^2{d}_n$ とまとめると等比数列になる。逆変換し，$3\mid n$ で簡約する。

(1)
全確率が1であり $b_n+c_n+d_n=1-a_n$ だから，初期値 $a_0=0$ と合わせて$$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{1}{3}(1-a_n)=\frac{1}{6}{a}_n+\frac{1}{3},a_n=\frac{2}{5}\{1-{\left(\frac{1}{6}\right)}^n\}\mathrm{.}$$(2)
$\omega =-1\mathrm{/}2+(\sqrt{3}\mathrm{/}2)i$，$1+\omega +{\omega }^2=0$ とし，$$z_n=b_n+\omega c_n+{\omega }^2{d}_n$$ とおく。確率漸化式を代入すると $a_n$ の係数が消え，$$z_{n+1}=-\frac{{\omega }^2}{3}{z}_n,z_0=1,z_n={(-\frac{{\omega }^2}{3})}^n\mathrm{.}$$$3\mid n$ なら ${\omega }^{2n}=1$ なので $z_n=(-1\mathrm{/}3{)}^n$ は実数である。したがって$$b_n-c_n={(-\frac{1}{3})}^n,c_n-d_n=0.$$(3)
$s_n=b_n+c_n+d_n$ とおくと$$s_n=1-a_n=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n\mathrm{.}$$$3\mid n$ では $$z_n=\overline{z_n}=(-1\mathrm{/}3{)}^n$$ である。逆変換$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =\frac{s_n+z_n+\overline{z_n}}{3},}\\ {\displaystyle c_n}& {\displaystyle =\frac{s_n+{\omega }^2{z}_n+\omega \overline{z_n}}{3},}\\ {\displaystyle d_n}& {\displaystyle =\frac{s_n+\omega z_n+{\omega }^2\overline{z_n}}{3}}\end{array}$$へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{2}{15}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n+\frac{2}{3}{(-\frac{1}{3})}^n,}\\ {\displaystyle c_n=d_n}& {\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{2}{15}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{3})}^n}\end{array}$$となる。