九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

以下では，裏が出る確率を $q=1-r$ とおく。裏が出ると黒玉が1つ置かれ，表が出ると白玉が2つ置かれることに注意する。

(1) $p_1$ は，$1+2=3$ 回硬貨を投げたとき，左から $1,2,3$ 番目の玉がすべて黒である確率である。1番目の玉が黒であるためには1回目が裏でなければならず，さらに2番目，3番目の玉も黒にするには2回目，3回目も裏でなければならない。したがって $p_1=q^3$ である。 $p_2$ は，4回硬貨を投げたとき，左から $2,3,4$ 番目の玉がすべて黒である確率である。1回目が表なら，最初に白玉が2つ並ぶので2番目の玉は白となり不可能である。よって1回目は裏でなければならない。このとき，残り3回で左から $1,2,3$ 番目に相当する玉がすべて黒である必要があるので，残り3回もすべて裏である。したがって $p_2=q^4$ である。すなわち $$p_1=(1-r{)}^3,p_2=(1-r{)}^4$$ である。

(2) $n\geqq 2$ とする。左から1番目の玉が黒であるためには，1回目が裏でなければならない。この確率は $q$ である。1回目に黒玉が1つ置かれたあとは，残り $n+1$ 回の投げでできる列において，もとの左から $n,n+1,n+2$ 番目の玉は，残りの列の左から $n-1,n,n+1$ 番目に対応する。したがって，残り $n+1=(n-1)+2$ 回について定義される $p_{n-1}$ がその確率である。よって求める確率は $$q{p}_{n-1}=(1-r)p_{n-1}$$ である。

(3) $n\geqq 3$ とする。$p_n$ を，1回目の硬貨の結果で分けて考える。

1回目が裏である場合，先頭に黒玉が1つ置かれる。このとき，左から $n,n+1,n+2$ 番目の玉がすべて黒であるためには，残り $n+1$ 回でできる列の左から $n-1,n,n+1$ 番目の玉がすべて黒であればよい。これは $p_{n-1}$ の事象であるから，この場合の確率は $q{p}_{n-1}$ である。

1回目が表である場合，先頭に白玉が2つ置かれる。このとき，目標の $n,n+1,n+2$ 番目の玉は，残りの列の左から $n-2,n-1,n$ 番目に対応する。残りの投げは $n+1$ 回あるが，最初の $n$ 回だけで列の長さは少なくとも $n$ になるので，残りの最後の1回はこれら $n-2,n-1,n$ 番目の玉には影響しない。したがってこの確率は $p_{n-2}$ であり，1回目が表である確率 $r$ を掛けて $r{p}_{n-2}$ である。

以上より $$p_n=(1-r)p_{n-1}+r{p}_{n-2}(n\geqq 3)$$ である。

(4) $q=1-r$ として，(3) の漸化式は $p_n=q{p}_{n-1}+r{p}_{n-2}$ である。特性方程式は ${\lambda }^2-q\lambda -r=0$ であり，$q=1-r$ を用いると $${\lambda }^2-(1-r)\lambda -r=0$$ すなわち $$(\lambda -1)(\lambda +r)=0$$ である。よって $p_n=A+B(-r{)}^n$ と表せる。

初期値 $p_1=q^3$，$p_2=q^4$ を代入すると $$A-rB=q^3,A+r^{2}B=q^4$$ である。第2式から第1式を引くと $$r(1+r)B=q^4-q^3=q^3(q-1)=-r{q}^3$$ である。$0<r<1$ なので $r(1+r)\mathrm{\ne }0$ であり，$$B=-\frac{q^3}{1+r}$$ を得る。また $$A=q^3+rB=q^3-\frac{r{q}^3}{1+r}=\frac{q^3}{1+r}$$ である。したがって $$p_n=\frac{q^3}{1+r}\{1-(-r{)}^n\}$$ であり，$q=1-r$ に戻して $$p_n=\frac{(1-r{)}^3}{1+r}\{1-(-r{)}^n\}$$ である。