九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
整数 $n$ を8で割った余りで分類する。余りは $0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,4$ のいずれかとしてよい。それぞれを2乗して8で割った余りを見ると，$$0^2\equiv 0,(\pm 1{)}^2\equiv 1,(\pm 2{)}^2\equiv 4,(\pm 3{)}^2\equiv 9\equiv 1,4^2\equiv 16\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$である。したがって，整数 $n$ に対して $n^2$ を8で割った余りは $0,1,4$ のいずれかである。

(2)
$m,n$ は0以上の整数である。まず小さい $m$ を確認する。

$m=0$ のとき $1=n^2+3$ となり，これは不可能である。$m=1$ のときも $2=n^2+3$ となり，不可能である。$m=2$ のときは $4=n^2+3$ より $n^2=1$ である。$n$ は0以上なので，このとき $n=1$ を得る。

次に $m\geqq 3$ とする。このとき $2^m$ は8で割り切れる。方程式 $2^m=n^2+3$ を8で割った余りで見ると，$n^2+3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ でなければならない。すなわち $n^2\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ が必要である。しかし(1)より，平方数を8で割った余りは $0,1,4$ のいずれかであり，$5$ にはならない。したがって $m\geqq 3$ の解はない。

以上より，求める組は $(m,n)=(2,1)$ のみである。