九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

全事象は、4個のサイコロを区別して $6^4=1296$ 通りである。

(1) $25=5^2$ であり、1から6までの目で5の因数をもつのは5だけである。したがって $X$ が25の倍数となるには、4個のうち少なくとも2個が5であればよい。

5がちょうど2個、3個、4個出る場合を数えると $${}_4{\mathrm{C}}_2{5}^2+{}_4{\mathrm{C}}_{3}5+1=6\cdot 25+4\cdot 5+1=171$$ 通りである。よって求める確率は $$\frac{171}{1296}={\displaystyle \frac{19}{144}}$$ である。

(2) $X$ が4の倍数でないのは、積に含まれる2の個数が合計で0個または1個の場合である。各目について、2の因数をもたない目は $1,3,5$ の3個、2の因数をちょうど1個もつ目は $2,6$ の2個である。

したがって、4の倍数でない出方は $$3^4+{}_4{\mathrm{C}}_1\cdot 2\cdot 3^3=81+216=297$$ 通りである。よって求める確率は余事象を用いて $$1-\frac{297}{1296}=\frac{999}{1296}={\displaystyle \frac{37}{48}}$$ である。

(3) $100=2^2\cdot 5^2$ であるから、5が少なくとも2個出て、さらに2の因数が合計で2個以上必要である。

5が4個出る場合は、2の因数がまったくないので不適である。5が3個出る場合、残り1個の目だけで2の因数を2個以上もつ必要があるから、その目は4に限られる。よって ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通りである。

5が2個出る場合、残り2個の目は $1,2,3,4,6$ から選ばれる。この2個の順序つきの選び方は $5^2=25$ 通りである。このうち2の因数が合計で1個以下となるものを除く。2の因数をもたない目は $1,3$ の2個、ちょうど1個もつ目は $2,6$ の2個であるから、不適な選び方は $$2^2+2\cdot 2\cdot 2=4+8=12$$ 通りである。したがって適する選び方は $25-12=13$ 通りである。

以上より、$X$ が100の倍数となる出方は $$4+{}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 13=4+78=82$$ 通りである。求める確率は $$\frac{82}{1296}={\displaystyle \frac{41}{648}}$$ である。

各目を、2の指数を表す $s$ と5の指数を表す $t$ の単項式に対応させる。1回の出目に対する母関数 $F(s,t)=2+2s+s^2+t$ を作れば、4個のサイコロは $F(s,t{)}^4$ で表せる。必要な係数だけを取り出して3問を同じ枠組みで処理する。

1個のサイコロについて、出目 $1,3$ は2の因数も5の因数ももたず、$2,6$ は2を1個、$4$ は2を2個、$5$ は5を1個もつ。したがって、2の指数を $s$、5の指数を $t$ で記録する母関数は$$F(s,t)=2+2s+s^2+t$$である。4個のサイコロを区別して投げた出方は $F(s,t{)}^4$ の各項に対応し、総数は $F(1,1{)}^4=6^4=1296$ である。

(1)
2の指数を無視するため $s=1$ とおくと$$F(1,t{)}^4=(5+t{)}^4$$となる。$t$ の次数が2以上の項の係数和は$${}_4{\mathrm{C}}_2{5}^2+{}_4{\mathrm{C}}_{3}5+1=171$$だから$$P(25\mid X)=\frac{171}{1296}=\frac{19}{144}$$である。

(2)
5の指数を無視するため $t=1$ とおくと$$F(s,1{)}^4=(3+2s+s^2{)}^4$$である。$X$ が4の倍数でないのは、$s$ の次数が0または1の項である。その係数和は$$3^4+{}_4{\mathrm{C}}_1(2s)3^3{\mid }_{s=1}=81+216=297$$だから$$P(4\mid X)=1-\frac{297}{1296}=\frac{37}{48}$$を得る。

(3)
$t$ の次数が2以上、かつ $s$ の次数が2以上の項を数える。$t^2$ の項では、残る2個の出目を表す$$(2+2s+s^2{)}^2$$の全係数和は $5^2=25$ である。このうち $s$ の次数0の係数は $2^2=4$、次数1の係数は $2\cdot 2\cdot 2=8$ なので、次数2以上の係数和は $25-4-8=13$ である。よって $t^2$ から $${}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 13=78$$ 通りを得る。

$t^3$ の項では残る1個が4のときだけ2の指数が2となるので ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通り、$t^4$ の項は2の因数をもたない。したがって$$P(100\mid X)=\frac{78+4}{1296}=\frac{41}{648}$$である。