九大 2025年度理系（後期）数学第1問（ベクトル）｜問題・解答・解説

方針

平面の式を求め，直線上の点を一つの実数で表す。
平面 $z = 0$ との交点では第3座標が0となるので，その実数が決まる。
直線と平面の交点を表し，逆向きにも条件を確認する
$α$ は $z = x + y + 2$ 。直線 $A P$ を $A + v (P - A)$ と表し，第3座標を0とおく。
軌跡では，点 $Q$ の座標から $s, t$ を解き直して $s^{2} + t^{2} = 1$ へ戻す。
得られた曲線上のすべての点が元の条件から作れることも示す。

与えられた3点は一直線上にないため，この平面の式は一意に定まる。
直線の表示で生じる分母は $2 - s - t$ であり，問題文の条件によって0にならない。
さらに $s^{2} + t^{2} = 1$ のときは $∣ s + t ∣ \leq \sqrt{2} < 2$ なので，この条件は自動的に満たされる。

軌跡の式は，中心 $(1 / 2, 2)$ の楕円になる。
分母を払って得た式だけで結論を出すと，元の交点として実現しない点を残すおそれがある。
逆の式の分母が0となる場合を除き，元の直線の式へ戻るところまで確かめる。

解答

(1) 与えられた3点はいずれも $z = x + y + 2$ を満たし，一直線上にない。
したがって $u = s + t + 2.$ (2) 直線 $A P$ 上の点は $(\frac{1}{2}, 0, 4) + v (s - \frac{1}{2}, t, s + t - 2)$ と表せる。第3座標を0とおけば $v = 4 / (2 - s - t)$ だから $Q (\frac{7 s - t - 2}{2 (2 - s - t)}, \frac{4 t}{2 - s - t}, 0) .$ (3) $Q = (X, Y, 0)$ ， $D = 2 X + 2 Y + 7$ とおく。
(2)を $s, t$ について解くと $s = \frac{4 X + Y + 2}{D}, t = \frac{3 Y}{D} .$ $s^{2} + t^{2} = 1$ へ代入して分母を払えば $(4 X + Y + 2)^{2} + 9 Y^{2} = (2 X + 2 Y + 7)^{2},$ すなわち $\frac{(X - 1 / 2)^{2}}{6} + \frac{(Y - 2)^{2}}{12} = 1.$ 逆に，この楕円上の点で $D = 0$ なら，分母を払った式から $Y = 0$ ， $X = - 1 / 2$ となるが，この点では $D = 6$ なので矛盾する。
よって楕円上で $D \neq 0$ である。
上の式で $s, t$ を定めると $s^{2} + t^{2} = 1$ ，また $s + t - 2 = - \frac{12}{D} \neq 0$ となる。(2)へ代入すれば $Q = (X, Y, 0)$ が得られる。
したがって軌跡は，平面 $z = 0$ 上のこの楕円全体である。

別解

別解・背景

方針

直線AQと平面の交点を使った逆の式。

解答

$Q = (X, Y, 0)$ を固定すると，直線 $A Q$ 上の点は $(\frac{1}{2} + w (X - \frac{1}{2}), w Y, 4 - 4 w)$ である。これを平面 $z = x + y + 2$ へ代入すると
$w = 3 / (2 X + 2 Y + 7)$ が得られ，答案で使った $s, t$ の式となる。

中心からの投影では，円が別の平面上の楕円へ移ることがある。
軌跡の式を得る計算と，逆向きに点を作る計算をそろえると，除外点の有無を確認できる。

総評

交点の表示は第3座標を0にして求める。軌跡の式を導いた後、楕円のすべての点から元の点を作れることを確かめる。

出典: 九州大学 2025年度後期日程数学（理系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

九州大学 2025年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問