九州大学 2026年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数

f (x) = \int_{x}^{x + 1} lo g (4 t^{2} + 1) d t

に関して，以下の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ。また，そのときの極値を求めよ。

(2) 極限 $x \to \infty lim x {f (x) - f (x - 1)}$ を求めよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

積分区間が $[x, x + 1]$ と動くので， $g (t) = lo g (4 t^{2} + 1)$ とおき， $f^{'} (x) = g (x + 1) - g (x)$ を使う。極値の位置と符号変化を確認し，極小値は偶関数性，部分積分， $u = 2 t$ ， $u = tan θ$ で計算する。(2) は2つの積分を同じ $[0, 1]$ 上にそろえ，さらに微分積分学の基本定理で二重積分にする。 $x g^{'} (x + c) \to 2$ が $- 1 ≦ c ≦ 1$ で一様に成り立つことを具体的に評価する。

解答

(1)

$g (t) = lo g (4 t^{2} + 1)$ とおくと $f (x) = \int_{x}^{x + 1} g (t) d t$ である。積分区間の両端が $x$ によって動くので， $f^{'} (x) = g (x + 1) - g (x)$ である。したがって $f^{'} (x) = lo g (4 (x + 1)^{2} + 1) - lo g (4 x^{2} + 1) = lo g \frac{4 ( x + 1 ) ^{2} + 1}{4 x ^{2} + 1}$ である。 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $4 (x + 1)^{2} + 1 = 4 x^{2} + 1$ のときであり，整理して $8 x + 4 = 0$ より $x = - \frac{1}{2}$ である。また， $4 (x + 1)^{2} + 1 < 4 x^{2} + 1$ は $(x + 1)^{2} < x^{2}$ すなわち $x < - \frac{1}{2}$ と同値である。よって $x < - 1/2$ で $f^{'} (x) < 0$ ， $x > - 1/2$ で $f^{'} (x) > 0$ となる。したがって $x = - 1/2$ で極小となる。

極小値を求める。 $f (- \frac{1}{2}) = \int_{- 1/2}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t$ である。被積分関数は偶関数なので $f (- \frac{1}{2}) = 2 \int_{0}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t$ である。ここで部分積分を用いると

\int_{0}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t = [t lo g (4 t^{2} + 1)]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} t \cdot \frac{8 t}{4 t ^{2} + 1} d t = \frac{1}{2} lo g 2 - \int_{0}^{1/2} \frac{8 t ^{2}}{4 t ^{2} + 1} d t .

さらに $\frac{8 t ^{2}}{4 t ^{2} + 1} = 2 - \frac{2}{4 t ^{2} + 1}$ だから

\int_{0}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t = \frac{1}{2} lo g 2 - 1 + \int_{0}^{1/2} \frac{2}{4 t ^{2} + 1} d t

である。最後の積分で $u = 2 t$ とおくと $\int_{0}^{1/2} \frac{2}{4 t ^{2} + 1} d t = \int_{0}^{1} \frac{1}{u ^{2} + 1} d u$ である。さらに $u = tan θ$ とおくと， $u = 0$ で $θ = 0$ ， $u = 1$ で $θ = π /4$ だから $\int_{0}^{1} \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = \int_{0}^{π /4} 1 d θ = \frac{π}{4}$ である。よって

f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2} lo g 2 - 1 + \frac{π}{4}) = lo g 2 - 2 + \frac{π}{2}

である。したがって $x = - \frac{1}{2} で極小値 lo g 2 - 2 + \frac{π}{2}$ であり，極大値は存在しない。

(2)

$g (t) = lo g (4 t^{2} + 1)$ とおく。積分区間を $[0, 1]$ にそろえると

f (x) - f (x - 1) = \int_{0}^{1} {g (x + u) - g (x - 1 + u)} d u .

さらに微分積分学の基本定理より

g (x + u) - g (x - 1 + u) = \int_{0}^{1} g^{'} (x - 1 + u + v) d v

である。したがって

x {f (x) - f (x - 1)} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x g^{'} (x - 1 + u + v) d v d u .

ここで

g^{'} (s) = \frac{8 s}{4 s ^{2} + 1} .

$c = - 1 + u + v$ とおけば $- 1 ≦ c ≦ 1$ であり， $x > 2$ のとき

∣ x g^{'} (x + c) - 2 ∣ = \frac{8 x ( x + c )}{4 ( x + c ) ^{2} + 1} - 2 = \frac{∣8 c ( x + c ) + 2∣}{4 ( x + c ) ^{2} + 1} ≦ \frac{8 x + 10}{4 ( x - 1 ) ^{2} + 1} .

右辺は $x \to \infty$ で0に収束し， $c \in [- 1, 1]$ に依存しない。よって $x g^{'} (x + c) \to 2$ はこの区間で一様である。上の二重積分との差を直接評価すると

∣ x {f (x) - f (x - 1)} - 2 ∣ ≦ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ∣ x g^{'} (x - 1 + u + v) - 2 ∣ d v d u ≦ \frac{8 x + 10}{4 ( x - 1 ) ^{2} + 1} ⟶ 0.

したがって

x \to \infty lim x {f (x) - f (x - 1)} = 2.

九州大学 2026年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第5問