名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点 $P,Q,R$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p},\vec{q},\vec{r}$ とする。原点 $O$ が三角形 $PQR$ の重心であるから $$\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}=\vec{0}$$ である。したがって $\vec{r}=-(\vec{p}+\vec{q})$ である。

1次変換 $f$ は和と実数倍を保つ。条件より $$f(\vec{p})=\vec{q},f(\vec{q})=\vec{p}$$ であるから$$f(\vec{r})=f\{-(\vec{p}+\vec{q})\}=-\{f(\vec{p})+f(\vec{q})\}=-(\vec{q}+\vec{p})=\vec{r}$$である。つまり、点 $R$ は $f$ によってそれ自身へ移る。

直線 $OR$ 上の任意の点の位置ベクトルは、ある実数 $t$ を用いて $t\vec{r}$ と表される。したがって $$f(t\vec{r})=tf(\vec{r})=t\vec{r}$$ である。ゆえに $f$ は直線 $OR$ 上の点をすべてそれ自身にうつす。
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辺 $PQ$ の中点を $M$ とする。一次変換が $P,Q$ を交換することから $M$ が固定される。
重心の性質より $O,M,R$ は一直線上にあるので、直線 $OR$ の一般点まで確かめる。

辺 $PQ$ の中点を $M$ とし、$P,Q,M$ の位置ベクトルを $\vec{p},\vec{q},\vec{m}$ とする。すると$$\vec{m}={\displaystyle \frac{\vec{p}+\vec{q}}{2}}\mathrm{.}$$一次変換の線形性と $$f(\vec{p})=\vec{q},f(\vec{q})=\vec{p}$$ より$$f(\vec{m})={\displaystyle \frac{f(\vec{p})+f(\vec{q})}{2}}={\displaystyle \frac{\vec{q}+\vec{p}}{2}}=\vec{m}\mathrm{.}$$よって $M$ は固定される。一次変換は原点 $O$ も固定する。

重心 $O$ は頂点 $R$ と辺 $PQ$ の中点 $M$ を結ぶ中線上にあるから、直線 $OM$ は直線 $OR$ と同じである。
この直線上の任意の点の位置ベクトルは $t\vec{m}$ と書けるので$$f(t\vec{m})=tf(\vec{m})=t\vec{m}\mathrm{.}$$したがって直線 $OR$ 上の点はすべてそれ自身へ移る。