名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

$P=(x,y,z)$ とする。球面上なので$$x^2+y^2+z^2=1.$$平面 $\alpha :y=1$ の法線は $(0,1,0)$、点 $P$ における球面の接平面 $\beta$ の法線は $(x,y,z)$ である。2法線のなす角が $a$ であることから$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=\cos a\mathrm{.}$$一方、$A=(0,1,0)$ なので$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}=y\mathrm{.}$$$\mathrm{\angle }AOP<\pi \mathrm{/}2$ より $y>0$。したがって$$y=\cos a\mathrm{.}$$球面の式へ代入すると$$x^2+z^2={\sin }^{2}a\mathrm{.}$$よって$$M:y=\cos a,x^2+z^2={\sin }^{2}a$$であり、$M$ は平面 $y=\cos a$ 上で中心 $(0,\cos a,0)$、半径 $\sin a$ の円である。

(2)

$M$ 上で $y=\cos a$ を平面の式へ代入すると$$px-z+q=0.$$したがって、$xz$ 平面の円$$x^2+z^2={\sin }^{2}a$$と直線 $px-z+q=0$ が共有点をもつ条件を求めればよい。

原点からこの直線までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{\sqrt{p^2+1}}}\mathrm{.}$$これが円の半径以下であることが必要十分だから$$q^2\leqq (p^2+1){\sin }^{2}a\mathrm{.}$$すなわち$$-\sin a\sqrt{p^2+1}\leqq q\leqq \sin a\sqrt{p^2+1}\mathrm{.}$$境界を含む、上下2曲線にはさまれた領域が求める存在範囲である。

角の条件から $M$ を円と決めた後、その円を $P=(\sin a\cos \theta ,\cos a,\sin a\sin \theta )$ と媒介表示する。平面条件は $p\cos \theta -\sin \theta =-q\mathrm{/}\sin a$ となるので、左辺の取り得る範囲を合成して共有点条件を得る。

(1)

平面 $y=1$ の法線は $\overrightarrow{OA}$、点 $P$ での球面の接平面の法線は $\overrightarrow{OP}$ である。両者のなす角が $a$、かつ $\mathrm{\angle }AOP<\pi \mathrm{/}2$ なので$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}=\mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }\cos a=\cos a\mathrm{.}$$左辺は $P$ の $y$ 座標である。よって$$y=\cos a,x^2+z^2={\sin }^{2}a\mathrm{.}$$したがって $M$ は解法1で述べた円である。

(2)

この円上の点を$$P(\theta )=(\sin a\cos \theta ,\cos a,\sin a\sin \theta )$$と表す。平面の式へ代入すると$$\begin{array}{cccc}& \sin a(p\cos \theta -\sin \theta )+q=0.& & \text{(1)}\end{array}$$正の数 $$R=\sqrt{p^2+1}$$ と角 $\phi$ を$$\cos \phi ={\displaystyle \frac{p}{R}},\sin \phi ={\displaystyle \frac{1}{R}}$$で定めれば$$p\cos \theta -\sin \theta =R\cos (\theta +\phi )\mathrm{.}$$したがって左辺の取り得る範囲は$$-\sqrt{p^2+1}\leqq p\cos \theta -\sin \theta \leqq \sqrt{p^2+1}\mathrm{.}$$(1)を満たす $\theta$ が存在するための必要十分条件は$$\mid {\displaystyle \frac{q}{\sin a}}\mid \leqq \sqrt{p^2+1}\mathrm{.}$$ゆえに$$q^2\leqq (p^2+1){\sin }^{2}a$$である。