名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・三角関数理系数学 第4問(a)

条件 $x^2+y^2=1$ より $$x=\cos \theta ,y=\sin \theta$$ とおく。$$A\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)$$であるから、内積は$$\overrightarrow{x}\cdot A\overrightarrow{x}=x(ax+by)+y(cx+dy)=a{x}^2+(b+c)xy+d{y}^2$$である。

倍角公式$$x^2={\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta }{2}},y^2={\displaystyle \frac{1-\cos 2\theta }{2}},xy={\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{2}}$$を用いると$$\overrightarrow{x}\cdot A\overrightarrow{x}={\displaystyle \frac{a+d}{2}}+{\displaystyle \frac{a-d}{2}}\cos 2\theta +{\displaystyle \frac{b+c}{2}}\sin 2\theta$$となる。

ここで ${\displaystyle \frac{a-d}{2}}\cos 2\theta +{\displaystyle \frac{b+c}{2}}\sin 2\theta$ の最大値は ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(a-d{)}^2+(b+c{)}^2}$ である。したがって求める最大値は ${\displaystyle \frac{a+d}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(a-d{)}^2+(b+c{)}^2}$ である。

定数項に、正弦・余弦の合成振幅を加える

内積を $q=a{x}^2+(b+c)xy+d{y}^2$ とする。上界 $M$ に対して
$M(x^2+y^2)-q$ が全ての $x,y$ で非負となる条件を、
$x\mathrm{/}y$ の2次式の判別式で求める。最小の上界が最大値になる。

$$q=\overrightarrow{x}\cdot A\overrightarrow{x}=a{x}^2+(b+c)xy+d{y}^2\mathrm{.}$$$x^2+y^2=1$ 上で $q\leqq M$ となるためには$$(M-a)x^2-(b+c)xy+(M-d)y^2\geqq 0$$が全ての $x,y$ で成り立てばよい。その境界では2次式が
ある比 $x:y$ で0になるから$$(b+c{)}^2-4(M-a)(M-d)=0.$$これを $M$ について解くと$$M={\displaystyle \frac{a+d\pm \sqrt{(a-d{)}^2+(b+c{)}^2}}{2}}\mathrm{.}$$$x=1,y=0$ と $x=0,y=1$ を代入すれば上界は
$M\geqq a,d$ でなければならないので、大きい方の根を取る。
この値では判別式が0となる比 $x:y$ があり、等号も実現する。
よって最大値は$${\displaystyle \frac{a+d+\sqrt{(a-d{)}^2+(b+c{)}^2}}{2}}\mathrm{.}$$