名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

直線 $PA$ 上の点を $P+t(A-P)$ と表す。$P(a,b,2)$, $A(1,0,1)$ だから、この点の $z$ 座標は $2+t(1-2)=2-t$ である。$xy$ 平面上では $z=0$ なので $t=2$ である。したがって $C=P+2(A-P)=2A-P$ であり、$C=(2-a,-b,0)$ である。

同様に、直線 $PB$ と $xy$ 平面の交点は $D=2B-P$ であるから $D=(2-a,2-b,0)$ である。

以下、$xy$ 平面で考える。2点 $C,D$ は $x$ 座標が等しく、$y$ 座標の差が $2$ なので $CD=2$ である。三角形 $OCD$ が正三角形になるためには $OC=OD=CD=2$ であればよい。したがって $(2-a{)}^2+b^2=4$ かつ $(2-a{)}^2+(2-b{)}^2=4$ である。

2式の差をとると $b^2-(2-b{)}^2=0$ であり、$4b-4=0$ だから $b=1$ である。これを $(2-a{)}^2+b^2=4$ に代入して $(2-a{)}^2+1=4$ より $(2-a{)}^2=3$ である。したがって $$a=2\pm \sqrt{3},b=1$$ である。

縦の辺 $CD$ の垂直二等分線上に原点がある

$C,D$ を求めた後、$CD$ が長さ2の鉛直な線分であることを使う。
正三角形の第3頂点 $O$ は、$CD$ の中点と同じ高さにあり、
その中点から水平方向へ $\sqrt{3}$ 離れる。

直線 $PA,PB$ を $z=0$ まで延長すると$$C=2A-P=(2-a,-b,0),D=2B-P=(2-a,2-b,0)\mathrm{.}$$したがって $CD$ は長さ2の鉛直な線分であり、その中点は$$M=(2-a,1-b,0)$$である。

$CD$ を一辺とする正三角形の高さは$$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\mathrm{.}$$第3頂点 $O=(0,0,0)$ は $CD$ の垂直二等分線上にあるから$$1-b=0.$$さらに $OM=\sqrt{3}$ だから$$\mathrm{\mid }2-a\mathrm{\mid }=\sqrt{3}\mathrm{.}$$よって$$a=2\pm \sqrt{3},b=1.$$