名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+p$ である。$x>\alpha \geqq 0$ ならば $x^2>{\alpha }^2$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+p>3{\alpha }^2+p=f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )$$ である。仮定より $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )\geqq 0$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0(x>\alpha )$ となる。したがって $f(x)$ は $x>\alpha$ の範囲で増加する。

また仮定より $f(\alpha )\geqq 0$ であるから、$x>\alpha$ では $f(x)>f(\alpha )\geqq 0$ である。よって $x>\alpha$ の範囲に $f(x)=0$ を満たす解は存在しない。

(2)
仮定より $$\alpha >1,p>1-\alpha ,q>1-\alpha$$ である。まず $$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=3{\alpha }^2+p>3{\alpha }^2+1-\alpha$$ である。$\alpha >1$ だから $3{\alpha }^2+1-\alpha >0$ であり、したがって $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )>0$ である。

次に $$f(\alpha )={\alpha }^3+p\alpha +q$$ である。$\alpha >0$ なので、$p>1-\alpha$ に $\alpha$ を掛けて $$p\alpha >\alpha (1-\alpha )$$ を得る。また $q>1-\alpha$ であるから $$f(\alpha )>{\alpha }^3+\alpha (1-\alpha )+(1-\alpha )$$ である。右辺は $${\alpha }^3-{\alpha }^2+1={\alpha }^2(\alpha -1)+1$$ であり、$\alpha >1$ だから正である。よって $f(\alpha )>0$ である。

以上より (1) の条件が成り立つので、方程式 $f(x)=0$ の解は $x>\alpha$ の範囲にはない。
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$x>\alpha$ に対する差 $f(x)-f(\alpha )$ を因数分解する。
残る因子を $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )\geqq 0$ と $x>\alpha \geqq 0$ で正に評価し、増減表を作らず直接示す。

(1) $x>\alpha$ とする。差を因数分解すると$$f(x)-f(\alpha )=(x-\alpha )(x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p)\mathrm{.}$$第2因子は$$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=(x-\alpha )(x+2\alpha )+(3{\alpha }^2+p)=(x-\alpha )(x+2\alpha )+f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )$$である。$x>\alpha \geqq 0$ と $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )\geqq 0$ より第2因子は正である。
したがって $f(x)>f(\alpha )\geqq 0$ となり、$x>\alpha$ に解はない。

(2) 仮定より$$\alpha >1,p>1-\alpha ,q>1-\alpha \mathrm{.}$$よって$$f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=3{\alpha }^2+p>3{\alpha }^2+1-\alpha >0$$である。また $\alpha >0$ だから$$f(\alpha )>{\alpha }^3+\alpha (1-\alpha )+(1-\alpha )={\alpha }^2(\alpha -1)+1>0.$$したがって (1) を適用でき、$x>\alpha$ に解はない。