名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 積分・関数文系数学 第3問(b)

$$I={\int }_0^{1}f(t)dt$$とおく。これは $x$ によらない定数である。与えられた関係式は $f(x)=(x-1{)}^n+2I$ と書ける。

両辺を $x=0$ から $x=1$ まで積分する。左辺は $I$ であり、右辺は$${\int }_0^1(x-1{)}^{n}dx+2I$$である。ここで$${\int }_0^1(x-1{)}^{n}dx={\left[{\displaystyle \frac{(x-1{)}^{n+1}}{n+1}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}$$である。したがって $$I={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}+2I$$ となり、$$I={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n+1}}{n+1}}$$ を得る。

これをもとの式に戻して $$f(x)=(x-1{)}^n+{\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n+1}}$$ である。

確認すると、この関数について$${\int }_0^{1}f(t)dt={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}+{\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n+1}}{n+1}}$$であるから、確かに与式を満たす。
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定積分項は $x$ によらないので、与式を微分して $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を求める。
積分して生じる定数を元の関係式へ戻して決定する。

与式を $x$ で微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=n(x-1{)}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって、ある定数 $C$ を用いて$$f(x)=(x-1{)}^n+C$$と書ける。このとき$${\int }_0^{1}f(t)dt={\int }_0^1(t-1{)}^{n}dt+C={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}+C\mathrm{.}$$元の式の定数項を比較すると$$C=2\{{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}+C\},$$よって$$f(x)=(x-1{)}^n+{\displaystyle \frac{2(-1{)}^{n+1}}{n+1}}\mathrm{.}$$