名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

直線 $l$ が放物線 $y=x^2$ と交わる2点の $x$ 座標を $a<b$ とする。直線は $(a,a^2)$, $(b,b^2)$ を通るので、その傾きは $${\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b-a}}=a+b$$ である。したがって直線の方程式は $y=(a+b)x-ab$ である。 $a\leqq x\leqq b$ では、直線と放物線の差は $$(a+b)x-ab-x^2=(x-a)(b-x)$$ である。よって囲まれる部分の面積は$${\int }_a^b(x-a)(b-x)dx$$である。$u=x-a$ と置けば $0\leqq u\leqq b-a$ で$${\int }_0^{b-a}u(b-a-u)du={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{6}}$$である。これが $1\mathrm{/}6$ に等しいので $b-a=1$ である。

そこで $$t={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$ とおくと $$a=t-{\displaystyle \frac{1}{2}},b=t+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。直線は $$y=2tx-(t^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})=2tx-t^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ と表される。

点 $P(X,Y)$ がこのような直線の一つの上にあることは、ある実数 $t$ について $$Y=2tX-t^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ となることと同値である。右辺を平方完成すると $$Y=X^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}-(t-X{)}^2$$ である。したがって必要条件として $$Y\leqq X^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ が得られる。

逆に、この不等式が成り立つなら $$(t-X{)}^2=X^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}-Y$$ を満たす実数 $t$ が存在する。その $t$ に対応する直線は点 $(X,Y)$ を通り、放物線との間に面積 $1\mathrm{/}6$ の領域を作る。

よって求める集合は $$y\leqq x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。図示すると、放物線 $y=x^2+1\mathrm{/}4$ とその下側全体であり、境界を含む。
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面積条件から弦の両端の $x$ 座標の差が1であることを出す。
中点 $t$ で直線族を表し、点 $P(X,Y)$ を通る実数 $t$ の存在条件を判別式で求める。

放物線との交点の $x$ 座標を $a<b$ とすれば、弦は $y=(a+b)x-ab$ であり、囲まれる面積は$${\int }_a^b(x-a)(b-x)dx={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{6}}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}6$ だから $b-a=1$ である。$t=(a+b)\mathrm{/}2$ とすると直線族は$$y=2tx-t^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}(t\text{ は実数})$$と表される。点 $P(X,Y)$ を通る条件は$$t^2-2Xt+Y-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$$を満たす実数 $t$ があることである。判別式が0以上である条件は$$4X^2-4(Y-{\displaystyle \frac{1}{4}})\geqq 0,$$すなわち $Y\leqq X^2+1\mathrm{/}4$ である。逆も判別式から成り立つ。
よって求める集合は放物線 $y=x^2+1\mathrm{/}4$ 上およびその下側全体である。