名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$h=q-p>0$ とおく。弦 $PQ$ の傾きは $p+q$ だから、弦と放物線の差は$$p^2+(p+q)(x-p)-x^2=(x-p)(q-x)\mathrm{.}$$したがって$$S(p)={\int }_p^q(x-p)(q-x)dx={\int }_0^{h}t(h-t)dt={\displaystyle \frac{h^3}{6}}\mathrm{.}$$距離条件は$$l^2=h^2\{1+(p+q{)}^2\}=h^2\{1+(2p+h{)}^2\}\mathrm{.}$$$p\to +\mathrm{\infty }$ では $h\to 0$ であり$$h(2p+h)⟶l\mathrm{.}$$よって $2ph+h^2\to l$ から $ph\to l\mathrm{/}2$ を得る。したがって$$\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{p}^{3}S(p)={\displaystyle \frac{1}{6}}\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(ph{)}^3={\displaystyle \frac{l^3}{48}}\mathrm{.}$$

弦の傾き $m=p+q$ を用いると、水平差 $h$ は距離 $l$ の水平成分なので $h=l\mathrm{/}\sqrt{1+m^2}$ である。面積 $h^3\mathrm{/}6$ へ代入し、$m\mathrm{/}p\to 2$ を示す。

$h=q-p$ とする。弦と放物線の差を積分すれば$$S(p)={\displaystyle \frac{h^3}{6}}\mathrm{.}$$弦の傾きは $m=p+q=2p+h$ であり、距離が $l$ なので$$l^2=h^2(1+m^2),h={\displaystyle \frac{l}{\sqrt{1+m^2}}}\mathrm{.}$$特に $0<h\leqq l$ である。よって$${\displaystyle \frac{m}{p}}=2+{\displaystyle \frac{h}{p}}⟶2.$$したがって$$p^{3}S(p)={\displaystyle \frac{l^3}{6}}{\left({\displaystyle \frac{p}{\sqrt{1+m^2}}}\right)}^3\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{\sqrt{1+m^2}}{p}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{p^2}}+{\left({\displaystyle \frac{m}{p}}\right)}^2}⟶2$$だから$$\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{p}^{3}S(p)={\displaystyle \frac{l^3}{48}}\mathrm{.}$$