名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

交点では$$1-x^2=x^2-x^4,$$したがって$$(x^2-1{)}^2=0.$$よって2曲線は $x=\pm 1$ で接する。また$$(1-x^2)-(x^2-x^4)=(1-x^2{)}^2\geqq 0$$だから、$-1\leqq x\leqq 1$ では $y=1-x^2$ が上側、$y=x^2-x^4$ が下側である。

$x$ 軸のまわりに回転すると、外半径は $1-x^2$、内半径は $x^2-x^4$ である。よって体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1\{(1-x^2{)}^2-(x^2-x^4{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^1(1-2x^2+2x^6-x^8)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi (1-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}-{\displaystyle \frac{1}{9}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{64\pi }{63}}\mathrm{.}}\end{array}$$

囲まれた領域を、上側曲線の下の領域から下側曲線の下の領域を除いたものと見る。それぞれを回転した体積を別々に積分して差を取る。

2曲線は $x=\pm 1$ で接し、$-1\leqq x\leqq 1$ では$$1-x^2\geqq x^2-x^4\geqq 0$$である。

上側曲線 $y=1-x^2$ の下を回転した体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_1}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1(1-x^2{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi (1-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})={\displaystyle \frac{16\pi }{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$下側曲線 $y=x^2-x^4$ の下を回転した体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_2}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-1}^1(x^2-x^4{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi ({\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{9}})={\displaystyle \frac{16\pi }{315}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める体積は$$V_1-V_2={\displaystyle \frac{16\pi }{15}}-{\displaystyle \frac{16\pi }{315}}={\displaystyle \frac{64\pi }{63}}\mathrm{.}$$