名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle ={\int }_0^{n\pi }x\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-x\cos x+\sin x]}_0^{n\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-1{)}^{n+1}n\pi \mathrm{.}}\end{array}$$(2)
よって$$b_n=\pi \sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}k\mathrm{.}$$隣り合う2項を組にすると$$(2j-1)-2j=-1$$だから$$b_{2m}=-m\pi ,b_{2m-1}=m\pi \mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{b_{2n-1}}{2n-1}}}& {\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n\pi }{2n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$隣り合う2項を組にすると、各組の和は $-\pi$

部分積分で $a_n$ を求めた後、一般の交代和を展開せず、
$a_{2j-1}+a_{2j}=-\pi$ と隣接2項を直接組にする。
奇数番目は最後の正の項を1つ加えて求める。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle ={\int }_0^{n\pi }x\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-x\cos x+\sin x]}_0^{n\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-1{)}^{n+1}n\pi \mathrm{.}}\end{array}$$(2)
正の整数 $j$ について$$a_{2j-1}+a_{2j}=(2j-1)\pi -2j\pi =-\pi \mathrm{.}$$よって、$m$ 組を足せば$$b_{2m}=-m\pi \mathrm{.}$$また$$b_{2m-1}=b_{2m}-a_{2m}=m\pi \mathrm{.}$$(3)
したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{b_{2n-1}}{2n-1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n\pi }{2n-1}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$