名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

半径1、中心角 $\theta$ のおうぎ形だから$$S_1(\theta )={\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ における円の接線は $$x\cos \theta +y\sin \theta =1$$ である。接線と円弧の間を積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2(\theta )}& {\displaystyle ={\int }_0^{\cos \theta }\{{\displaystyle \frac{1-x\cos \theta }{\sin \theta }}-\sqrt{1-x^2}\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cot \theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S_2(\theta )-S_1(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}\cot \theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$$\cot \theta$ は単調に減少する。$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$$ となる $$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ をとれば$$S(\theta )=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\theta }{2}}& (0\leqq \theta \leqq \alpha ),\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\cot \theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\theta }{2}}& (\alpha \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$$である。求める積分を $I$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\theta \sin \theta d\theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{\alpha }^{\pi \mathrm{/}2}\cos \theta d\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}{\int }_{\alpha }^{\pi \mathrm{/}2}\sin \theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos \alpha \mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{{\pi }^2+4}}},\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{{\pi }^2+4}}}$$だから$$I=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{{\pi }^2+4}}{4}}\mathrm{.}$$したがって求める値は $1-{\displaystyle \frac{\sqrt{{\pi }^2+4}}{4}}$ である。

$S_2$ を接線と座標軸でできる三角形から円の扇形を引いて求める。大小が切り替わる角を決めた後は、$S_1$ を全区間で積分し、後半だけ差を加える。

点 $$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ における接線と $y$ 軸との交点を $T$ とする。接線の方程式は$$x\cos \theta +y\sin \theta =1$$だから $OT=1\mathrm{/}\sin \theta$ である。三角形 $OPT$ の $y$ 軸を底辺とした高さは $\cos \theta$ なので、その面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}\cdot \cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cot \theta$$である。一方、$OP$ と正の $y$ 軸のなす角は $\pi \mathrm{/}2-\theta$ だから、その扇形の面積は $\pi \mathrm{/}4-\theta \mathrm{/}2$ である。よって$$S_2(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}\cot \theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\theta }{2}},S_1(\theta )={\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$$\tan \alpha =2\mathrm{/}\pi$ となる $0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ をとると、$0\leqq \theta \leqq \alpha$ では $S=S_1$、$$\alpha \leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$$ では $S=S_2$ である。したがって求める値を $I$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{S}_1(\theta )\sin \theta d\theta +{\int }_{\alpha }^{\pi \mathrm{/}2}\{S_2(\theta )-S_1(\theta )\}\sin \theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos \alpha \mathrm{.}}\end{array}$$$\tan \alpha =2\mathrm{/}\pi$ より$$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{{\pi }^2+4}}},\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{{\pi }^2+4}}}\mathrm{.}$$ゆえに$$I=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{{\pi }^2+4}}{4}}$$である。