名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

余りの定理より、$F(x)$ が $x-b$ で割り切れることは$$F(b)=0$$と同値である。また定義から$$\begin{array}{cccc}& F(b)={\int }_a^{b}P(t)dt\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$まず $a=b$ とする。どの3次式 $P$ に対しても$$F(b)={\int }_b^{b}P(t)dt=0$$だから、$F(x)$ は $x-b$ で割り切れる。これで十分性が示された。

次に、どの3次式 $P$ に対しても $F(x)$ が $x-b$ で割り切れると仮定する。もし $a\mathrm{\ne }b$ なら、3次式$$P(t)=(t-a{)}^3$$を選べる。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(b)}& {\displaystyle ={\int }_a^b(t-a{)}^{3}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{(t-a{)}^4}{4}}\right]}_a^b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(b-a{)}^4}{4}}>0.}\end{array}$$これは (1) が0でなければならないことに反する。したがって $a=b$ である。

以上より、必要十分条件は$$a=b$$である。

「どの3次式に対しても」という条件を、具体的な2つの3次式 $t^3$ と $t^3+1$ に適用する。両方の積分値が0なので、その差である定数1の積分も0となり、直ちに $a=b$ が得られる。

$F(x)$ が $x-b$ で割り切れるための条件は$$\begin{array}{cccc}& {\int }_a^{b}P(t)dt=0.& & \text{(1)}\end{array}$$$a=b$ なら積分区間の両端が同じなので、(1) はすべての3次式 $P$ に対して成り立つ。したがって十分である。

逆に、(1) がすべての3次式に対して成り立つとする。特に$$P_0(t)=t^3,P_1(t)=t^3+1$$はいずれも3次式だから$${\int }_a^b{t}^{3}dt=0,{\int }_a^b(t^3+1)dt=0.$$後の式から前の式を引くと$${\int }_a^{b}1dt=b-a=0.$$よって$$a=b\mathrm{.}$$これで必要性も示された。