名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 微分・積分理系数学 第4問(b)

背理法で示す。ある $a>0$ に対して $f(a)\leqq 1$ であると仮定する。 $x\geqq 0$ で常に $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であるから、$f(x)$ は $[0,\mathrm{\infty })$ で厳密に増加する。したがって $0\leqq t<a$ ならば $f(t)<f(a)\leqq 1$ である。

よって$${\int }_0^{a}f(t)dt<{\int }_0^{a}1dt=a$$となる。ところが、問題の仮定に $x=a$ を代入すると$${\int }_0^{a}f(t)dt\geqq a$$でなければならない。これは矛盾である。

したがって、どの $a>0$ に対しても $f(a)\leqq 1$ は成り立たない。ゆえに $x>0\text{ ならば }f(x)>1$ である。
\newpage

$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ から $f$ は狭義増加である。
区間 $[0,x]$ での平均値が終点の値 $f(x)$ より真に小さいことと、積分条件を直結する。

任意の $x>0$ を固定する。$f$ は狭義増加だから、$0\leqq t<x$ で $f(t)<f(x)$ である。
したがって$${\int }_0^{x}f(t)dt<{\int }_0^{x}f(x)dt=xf(x)\mathrm{.}$$一方、仮定より$$x\leqq {\int }_0^{x}f(t)dt\mathrm{.}$$これらから $x<xf(x)$ を得る。$x>0$ で割れば $f(x)>1$ である。