名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

1個のバクテリアが10分後に作る個数の分布を $$f(s)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}s+{\displaystyle \frac{1}{2}}{s}^2$$ で表す。ここで $s^k$ の係数が、個数が $k$ 個になる確率を表している。

(1)

20分後の分布は $f(f(s))$ で表せる。実際、10分後に $0,1,2$ 個になり、その各個体がさらに独立に同じ規則で増えるからである。計算すると$$f(f(s))={\displaystyle \frac{17}{72}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}s+{\displaystyle \frac{11}{36}}{s}^2+{\displaystyle \frac{1}{6}}{s}^3+{\displaystyle \frac{1}{8}}{s}^4\mathrm{.}$$したがって20分後に2個になっている確率は、$s^2$ の係数で ${\displaystyle \frac{11}{36}}$ である。

(2)

30分後に6個になるためには、20分後の個数は3個または4個でなければならない。20分後の分布から $$P(20\text{分後に3個})={\displaystyle \frac{1}{6}},P(20\text{分後に4個})={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

20分後に3個ある場合、30分後に6個になるには、3個すべてが2個になる必要がある。したがってその確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$ 20分後に4個ある場合、30分後に6個になるには、4個の合計増殖数が6になればよい。最大は全員が2個になる8個なので、合計で2個分だけ不足する場合を数える。すなわち、一つが0個になり他の三つが2個になる場合、または二つが1個になり他の二つが2個になる場合である。確率は$$4\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+6{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{48}}+{\displaystyle \frac{1}{32}}={\displaystyle \frac{5}{96}}\mathrm{.}$$

各10分後の個数を直接分類する。(1)は最初の10分後が1個か2個かで分ける。(2)は20分後が3個・4個となる経路を先に数え、最後の10分で6個になる場合を足す。

(1)
最初の10分後が1個で、その1個が次に2個となる確率は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$最初の10分後が2個の場合、次の2個の子孫数の和が2となるのは$$(0,2),(2,0),(1,1)$$である。その確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\}={\displaystyle \frac{5}{36}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}\mathrm{.}$$(2)
20分後に3個となるには、10分後が2個で、次に $(1,2)$ または $(2,1)$ となればよい。したがって$$P(N_{20}=3)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$20分後に4個となるには2個がともに2個となればよいので$$P(N_{20}=4)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$3個から6個になる確率は $(1\mathrm{/}2{)}^3=1\mathrm{/}8$ である。4個から6個になるのは、最大8個から2個不足する場合であり、$$4\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+6{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{96}}\mathrm{.}$$