名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 確率文系数学 第3問(b)

(1)
白石の回数が黒石の回数より大きいのは、3回中2回または3回、白石が出る場合である。場合分けして計算する。

1回目に白が出る確率は $\alpha$ である。この場合、2回目は箱 $B$ から取る。
2回目も白なら、すでに白が2回出ているので3回目の結果にかかわらず条件を満たす。この確率は $\alpha \beta$ である。
1回目が白、2回目が黒なら、3回目は箱 $A$ から取り、ここで白が出る必要がある。この確率は $\alpha (1-\beta )\alpha$ である。

次に1回目に黒が出る場合を考える。この確率は $1-\alpha$ であり、2回目は箱 $A$ から取る。2回目に白が出た場合だけ3回目は箱 $B$ から取り、そこで白が出れば白が2回になる。この確率は $(1-\alpha )\alpha \beta$ である。2回目も黒なら、3回目に白が出ても白は1回だけなので条件を満たさない。

以上より $$p=\alpha \beta +{\alpha }^2(1-\beta )+(1-\alpha )\alpha \beta$$ である。整理して $$p={\alpha }^2+2\alpha \beta -2{\alpha }^2\beta$$ を得る。

(2) $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ を代入すると$$p={\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{\beta }{2}}-{\displaystyle \frac{\beta }{8}}={\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{3\beta }{8}}$$である。
もし $p=1\mathrm{/}2$ なら $${\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{3\beta }{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$1+6\beta =8$ すなわち $\beta ={\displaystyle \frac{7}{6}}$ となる。しかし $\beta$ は確率なので $0\leqq \beta \leqq 1$ でなければならない。これは $\beta =7\mathrm{/}6$ と矛盾する。
したがって、どんな確率 $\beta$ に対しても $p\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

箱の選択規則を保ったまま、必要な経路だけを足す

白が黒より多い事象を直接足す代わりに、その余事象
「白が0回または1回」を数える。箱の移動規則を守って
$BBB,WBB,BWB,BBW$ の4経路を足し、1から引く。

(1)
白が0回の経路は $BBB$ だけで、その確率は$$(1-\alpha {)}^3$$である。白が1回だけの経路は次の3つである。$$\begin{array}{cc}\text{経路}& \text{確率}\\ WBB& \alpha (1-\beta )(1-\alpha )\\ BWB& (1-\alpha )\alpha (1-\beta )\\ BBW& (1-\alpha {)}^2\alpha \end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p}& {\displaystyle =1-(1-\alpha {)}^3-2\alpha (1-\alpha )(1-\beta )-\alpha (1-\alpha {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^2+2\alpha \beta -2{\alpha }^2\beta \mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ とすると$$p={\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{3\beta }{8}}\mathrm{.}$$$0\leqq \beta \leqq 1$ だから$${\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{7}{16}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって、どの確率 $\beta$ に対しても
$p\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。