名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 確率理系数学 第4問(b)

6の目が出た回数を $r$ とする。各回について、6の目が出れば $1$、出なければ $0$ となる変数を $$X_i(i=1,2,\dots ,n)$$ とおくと $r=X_1+X_2+\cdots +X_n$ である。
各 $X_i$ について $E(X_i)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ だから $$E(r)={\displaystyle \frac{n}{6}}$$ である。

次に $E(r^2)$ を求める。$X_i^2=X_i$ であり、$i\mathrm{\ne }j$ のとき独立性より $E(X_i{X}_j)={\displaystyle \frac{1}{36}}$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(r^2)}& {\displaystyle =E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2+2\sum _{1\leqq i<j\leqq n}{X}_i{X}_j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{6}}+2\cdot {\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{36}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n^2+5n}{36}}}\end{array}$$である。

得られる金額の期待値は $$m=E(a{r}^2+br+c)=aE(r^2)+bE(r)+c$$ であるから $$m=a{\displaystyle \frac{n^2+5n}{36}}+b{\displaystyle \frac{n}{6}}+c$$ である。

これと ${\displaystyle \frac{a{n}^2}{36}}+{\displaystyle \frac{bn}{6}}+c$ との差を取ると $$m-({\displaystyle \frac{a{n}^2}{36}}+{\displaystyle \frac{bn}{6}}+c)={\displaystyle \frac{5an}{36}}$$ である。$a>0$, $n\geqq 1$ なのでこれは正である。したがって $m$ の方が大きい。

1回の成功数と、異なる2回の成功対を分けて数える

$r^2=r+r(r-1)$ と分ける。$r$ は6が出た回数、
$r(r-1)$ は異なる2回でともに6が出た順序つきの組の数なので、
それぞれの期待値を直接数える。

6が出た回数を $r$ とする。各回で6が出る確率は
${\displaystyle \frac{1}{6}}$ だから$$E(r)={\displaystyle \frac{n}{6}}\mathrm{.}$$一方、$r(r-1)$ は、6が出た異なる2回を順序つきで選ぶ個数である。
順序つきの回の組は $n(n-1)$ 個あり、固定した2回がともに
6である確率は ${\displaystyle \frac{1}{36}}$ だから$$E\{r(r-1)\}={\displaystyle \frac{n(n-1)}{36}}\mathrm{.}$$$r^2=r+r(r-1)$ より$$E(r^2)={\displaystyle \frac{n}{6}}+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{36}}={\displaystyle \frac{n^2+5n}{36}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m}& {\displaystyle =aE(r^2)+bE(r)+c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(n^2+5n)}{36}}+{\displaystyle \frac{bn}{6}}+c\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$m-({\displaystyle \frac{a{n}^2}{36}}+{\displaystyle \frac{bn}{6}}+c)={\displaystyle \frac{5an}{36}}>0.$$したがって $m$ の方が大きい。