名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(a)

(1)
箱 $A$ の球数を状態とする。初期状態は1で、表なら1減り、裏なら1増える。状態0または3に達すると操作は止まる。

$A$ が空になるまで停止せずに進むには$$1\to 2\to 1\to 2\to \cdots \to 1\to 0$$と動くしかない。したがって偶数回目には起こらず、$n=2k+1$ 回目に起こる道筋はただ1つである。各硬貨列の確率は $2^{-(2k+1)}$ だから$$p_{2k+1}={\displaystyle \frac{1}{2^{2k+1}}}(k=0,1,2,\dots ),p_{2k}=0.$$(2)
$N=2m$ のとき、$N$ 回以下で $A$ が空になる確率は$$\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{1}{2^{2k+1}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{4^m}})\mathrm{.}$$よって$$q_{2m}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 4^m}}\mathrm{.}$$$N=2m+1$ のときは項を1つ加えて$$q_{2m+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 4^{m+1}}}\mathrm{.}$$$m=0$ では $q_0=1$、$q_1=1\mathrm{/}2$ となり、初期状態とも一致する。

状態1から始めた2回の硬貨を1組として見る。最初の表で $A$ が空、裏表なら状態1へ戻り、裏裏なら $B$ が空になる。状態1へ戻る確率 $1\mathrm{/}4$ を用いて、吸収時刻と生存確率を直接求める。

(1)
状態1から2回分を見ると

・最初が表：確率 $1\mathrm{/}2$ で1回目に $A$ が空

・裏、表：確率 $1\mathrm{/}4$ で2回後に状態1へ戻る

・裏、裏：確率 $1\mathrm{/}4$ で2回目に $B$ が空

となる。したがって $k$ 組だけ「裏、表」で戻った後、次の1回で表が出る確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^k{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2^{2k+1}}}\mathrm{.}$$よって$$p_{2k+1}={\displaystyle \frac{1}{2^{2k+1}}},p_{2k}=0.$$(2)
$2m$ 回以下で $A$ が空になる確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{4^{m-1}}}),$$したがって$$q_{2m}=1-{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{4^m}})={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 4^m}}\mathrm{.}$$奇数の期限では、さらに $m$ 組戻った後の表を除くので$$q_{2m+1}=q_{2m}-{\displaystyle \frac{1}{2^{2m+1}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 4^{m+1}}}\mathrm{.}$$