名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
選んだ2つの数を，順序を区別して $(i,j)$ と表す。重複を許して1から $n$ までの自然数から選ぶので，全体は $n^2$ 通りである。

和 $X=i+j$ が $k$ をこえない条件は $i+j\leqq k$ である。ここで $k\leqq n$ なので，$i,j$ が $n$ をこえる心配はない。$i=1,2,\dots ,k-1$ に対して，$j$ は $1\leqq j\leqq k-i$ を満たす。したがって条件を満たす組の数は $$(k-1)+(k-2)+\cdots +1={\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}$$ である。

よって $$p(n,k)={\displaystyle \frac{k(k-1)}{2n^2}}$$ である。

(2) $M=M(n,a)$ とおく。まず $$p(n,n)=(n-1)\mathrm{/}(2n)\to 1\mathrm{/}2>a$$ だから，十分大きい $n$ では $M<n$ であり，$M+1$ も定義範囲に入る。このような $n$ について，$M$ の定義と最大性から $${\displaystyle \frac{M(M-1)}{2n^2}}\leqq a$$ かつ $${\displaystyle \frac{(M+1)M}{2n^2}}>a$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{M(M-1)}{n^2}}\leqq 2a<{\displaystyle \frac{M(M+1)}{n^2}}$$ となる。

これを$${\left({\displaystyle \frac{M}{n}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{M}{n^2}}\leqq 2a<{\left({\displaystyle \frac{M}{n}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{M}{n^2}}$$と書く。ここで $0<a<1\mathrm{/}2$ なので，$$\sqrt{2a}<1$$ である。また $M\leqq n$ だから $$0\leqq {\displaystyle \frac{M}{n^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$$ であり，これは $n\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。したがって上の両側評価から ${\left({\displaystyle \frac{M}{n}}\right)}^2\to 2a$ である。 $M\mathrm{/}n\geqq 0$ だから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{M(n,a)}{n}}=\sqrt{2a}$$ である。

(1) は格子点を横一列ずつ数える。(2) は不等式 $k(k-1)\leqq 2a{n}^2$ を2次不等式として直接解き，最大の整数 $M$ と正の解との差が1未満であることから極限を出す。

(1)
順序を区別した組 $(i,j)$ は全部で $n^2$ 個ある。条件 $i+j\leqq k$ を満たす組は，$i=1,2,\dots ,k-1$ ごとに$$k-1,k-2,\dots ,1$$個である。したがって$$p(n,k)={\displaystyle \frac{1+2+\cdots +(k-1)}{n^2}}={\displaystyle \frac{k(k-1)}{2n^2}}$$である。

(2)
$p(n,k)\leqq a$ は$$k^2-k-2a{n}^2\leqq 0$$と同値である。この2次式の正の解を$$r_n={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+8a{n}^2}}{2}}$$とおく。$0<a<1\mathrm{/}2$ より，十分大きい $n$ では $r_n<n$ である。したがって $M=M(n,a)$ は $r_n$ 以下の最大の自然数であり，$$r_n-1<M\leqq r_n$$を満たす。

両辺を $n$ で割ると$${\displaystyle \frac{r_n}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{M}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{r_n}{n}}$$である。一方，$${\displaystyle \frac{r_n}{n}}={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}n+\sqrt{1\mathrm{/}{n}^2+8a}}{2}}⟶\sqrt{2a}$$だから，はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{M(n,a)}{n}}=\sqrt{2a}$$である。