名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

もとの三角形 $ABC$ は $AB=AC=5,BC=6$ である。底辺 $BC$ の中点を基準にすると、高さは $$\sqrt{5^2-3^2}=4$$ である。 $BP=QC=x$ とおく。条件より $0<x<3$ である。また $d=3-x$ とおくと $PQ=6-2x=2d\mathrm{.}$ 折り曲げた後、点 $B$ と点 $C$ が張り合わされた点を $S$ とする。底面を三角形 $APQ$ として座標を置く。 $$P=(-d,0,0),Q=(d,0,0),A=(0,4,0)\mathrm{.}$$ 対称性より $S$ は $PQ$ の垂直二等分面上にあるので $S=(0,y,h)$ とおける。

折り曲げても長さは変わらないので $SP=SQ=x,SA=5$ である。したがって $d^2+y^2+h^2=x^2,$ $(y-4{)}^2+h^2=25.$ 二つの式を引くと $(y-4{)}^2-d^2-y^2=25-x^2\mathrm{.}$ $x=3-d$ を代入して整理すると $$y=-{\displaystyle \frac{3d}{4}}\mathrm{.}$$ これを $d^2+y^2+h^2=x^2$ に代入すると $$h^2=(3-d{)}^2-d^2-{\displaystyle \frac{9d^2}{16}}=9-6d-{\displaystyle \frac{9d^2}{16}}\mathrm{.}$$ 容器として立体になるには $h^2>0$ であり、最大値を考える範囲は $0<d<{\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。

底面三角形 $APQ$ の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot PQ\cdot 4={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2d\cdot 4=4d\mathrm{.}$$ したがって体積は $$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4d\cdot h\mathrm{.}$$ $V$ を最大にするには $d^2{h}^2$ を最大にすればよい。そこで $$F(d)=d^2{h}^2=d^2(9-6d-{\displaystyle \frac{9d^2}{16}})$$ とおく。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(d)=18d-18d^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}{d}^3={\displaystyle \frac{9}{4}}d(8-8d-d^2)\mathrm{.}$$ $0<d<{\displaystyle \frac{4}{3}}$ で $F^{\mathrm{\prime }}(d)=0$ となるのは $d^2+8d-8=0$ より $d=-4+2\sqrt{6}$ である。端では体積が0になり、この点で最大をとる。

したがって $$x=3-d=3-(-4+2\sqrt{6})=7-2\sqrt{6}\mathrm{.}$$ よって容積を最大にするには $BP=7-2\sqrt{6}$ とすればよい。

貼り合わせた点を $S$ とし、三角形 $SPQ$ を底面に選ぶ。底面の高さと、点 $A$ から底面までの距離を三平方の定理で求め、体積の平方を一変数で最大化する。

$BP=QC=x$、$d=3-x$ とおく。すると$$PQ=2d,SP=SQ=x=3-d\mathrm{.}$$三角形 $SPQ$ で $S$ から $PQ$ へ下ろした高さを $k$ とすると$$k^2=x^2-d^2=(3-d{)}^2-d^2=9-6d\mathrm{.}$$底面 $SPQ$ を$$P=(-d,0,0),Q=(d,0,0),S=(0,k,0)$$と置く。対称性から$$A=(0,u,H)$$と書ける。折る前の三角形の高さが4なので$$A{P}^2=A{Q}^2=d^2+16.$$したがって$$\begin{array}{cccc}& u^2+H^2=16.& & \text{(1)}\end{array}$$また $AS=5$ より$$\begin{array}{cccc}& (u-k{)}^2+H^2=25.& & \text{(2)}\end{array}$$(2) から (1) を引くと$$k^2-2ku=9,$$よって $k^2=9-6d$ を用いて$$u=-{\displaystyle \frac{3d}{k}}\mathrm{.}$$したがって$$H^2=16-{\displaystyle \frac{9d^2}{9-6d}}\mathrm{.}$$底面積は $dk$ だから、体積 $V$ の平方は定数倍を除いて$$d^2{k}^2{H}^2=d^2(144-96d-9d^2)$$である。微分すると、正の定数倍を除いて$$d(8-8d-d^2)$$となる。立体ができる範囲で最大となるのは$$d=-4+2\sqrt{6}\mathrm{.}$$よって$$BP=x=3-d=7-2\sqrt{6}\mathrm{.}$$