名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

長方形の長さ2の辺が $x$ 軸となす角を $\theta$ とする。この辺の $x$ 軸への射影の長さは $2\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }$ であり、$y$ 軸への射影の長さは $2\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }$ である。もう一方の長さ1の辺はこれと垂直なので、その射影長は $x$ 軸方向に $\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }$、$y$ 軸方向に $\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }$ である。

そこで $$u=\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid },v=\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }$$ とおくと $$u\geqq 0,v\geqq 0,u^2+v^2=1$$ である。また $l=2u+v,m=u+2v$ である。

求める点を $(X,Y)=(l-m,l+m)$ と書く。すると $X=(2u+v)-(u+2v)=u-v,$ $Y=(2u+v)+(u+2v)=3(u+v)\mathrm{.}$ したがって $$u-v=X,u+v={\displaystyle \frac{Y}{3}}\mathrm{.}$$ 一方 $$(u+v{)}^2+(u-v{)}^2=2(u^2+v^2)=2$$ であるから $$X^2+{\left({\displaystyle \frac{Y}{3}}\right)}^2=2.$$ すなわち $$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=2.$$ さらに $u,v\geqq 0$ より $u+v\geqq \mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }$ である。したがって $${\displaystyle \frac{Y}{3}}\geqq \mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }$$ すなわち $Y\geqq 3\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }$ が必要である。

逆に、だ円 $$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=2$$ 上で $Y\geqq 3\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }$ を満たす点に対して$$u={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{Y}{3}}+X),v={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{Y}{3}}-X)$$とおけば $u,v\geqq 0$、$u^2+v^2=1$ となる。したがって実際にある長方形から得られる。

よって求める図形は $$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=2,Y\geqq 3\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }$$ で表されるだ円の上側の弧である。端点は $(1,3),(-1,3)$ であり、最上点は $(0,3\sqrt{2})$ である。これらを結ぶ上側のだ円弧を図示すればよい。

射影長の絶対値を吸収するため、長辺が座標軸となす鋭角を $\varphi$ とする。求める点を三角関数で媒介表示し、角の範囲からだ円弧のどの部分かを決める。

長さ2の辺が座標軸となす鋭角を $\varphi$ とする。長方形の向きを反転しても射影長は変わらないので$$0\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$としてよい。このとき$$l=2\cos \varphi +\sin \varphi ,m=\cos \varphi +2\sin \varphi \mathrm{.}$$$$X=l-m,Y=l+m$$とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle =\cos \varphi -\sin \varphi =\sqrt{2}\cos (\varphi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),}\\ {\displaystyle Y}& {\displaystyle =3(\cos \varphi +\sin \varphi )=3\sqrt{2}\sin (\varphi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{X^2}{2}}+{\displaystyle \frac{Y^2}{18}}=1.$$また$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \varphi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$だから、求める図形はこのだ円の上側の弧で、端点は$$(-1,3),(1,3),$$最上点は$$(0,3\sqrt{2})$$である。