名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方程式を $y$ について解くと$$y=x(1\pm \sqrt{1-x})\mathrm{.}$$実点をもつ範囲は $0\leqq x\leqq 1$ である。したがって $x$ 座標が最大となる点は$$(1,1)$$である。

$y$ の最大値は上側の枝にある。$$t=\sqrt{1-x}$$ とおくと$$x=1-t^2,y=(1-t^2)(1+t)=1+t-t^2-t^3\mathrm{.}$$ここで $0\leqq t\leqq 1$ であり、$${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=1-2t-3t^2=-(3t-1)(t+1)\mathrm{.}$$よって最大は $t=1\mathrm{/}3$ のときであり、$$x={\displaystyle \frac{8}{9}},y={\displaystyle \frac{32}{27}}\mathrm{.}$$したがって $y$ 座標が最大となる点は$$({\displaystyle \frac{8}{9}},{\displaystyle \frac{32}{27}})$$である。

2枝の差は $2x\sqrt{1-x}$ だから、囲まれた面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}2x\sqrt{1-x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^1(1-u)u^{1\mathrm{/}2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})={\displaystyle \frac{8}{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$

$t=\sqrt{1-x}$ を最初から媒介変数に選び、上下2枝を同時に表す。座標最大を $t$ の範囲で調べ、面積も $dx=-2tdt$ を用いて媒介変数のまま積分する。

$0\leqq t\leqq 1$ とし$$x=1-t^2$$とおくと、曲線の2枝は$$y_{\pm }=(1-t^2)(1\pm t)$$と表される。

$x$ は $t=0$ のとき最大であり、$$(x,y)=(1,1)$$を得る。$y$ の最大は上側の枝$$y_{+}=(1-t)(1+t{)}^2$$で生じる。その導関数は$${\displaystyle \frac{d{y}_{+}}{dt}}=-(3t-1)(t+1)$$だから $t=1\mathrm{/}3$ で最大となり、$$(x,y)=({\displaystyle \frac{8}{9}},{\displaystyle \frac{32}{27}})\mathrm{.}$$また$$y_{+}-y_{-}=2t(1-t^2),dx=-2tdt\mathrm{.}$$$x=0$ は $t=1$、$x=1$ は $t=0$ に対応するので、囲まれた面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_1^{0}2t(1-t^2)(-2t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\int }_0^1(t^2-t^4)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})={\displaystyle \frac{8}{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$