名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$v_n=\log a_n$、$L=\log a$ とおく。条件式の対数を取ると$$p{v}_n+q{v}_{n-1}=L,v_1=0$$である。定数解は $L\mathrm{/}(p+q)$ だから$$v_n-{\displaystyle \frac{L}{p+q}}=-{\displaystyle \frac{q}{p}}(v_{n-1}-{\displaystyle \frac{L}{p+q}})\mathrm{.}$$したがって$$v_n-{\displaystyle \frac{L}{p+q}}={(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}(-{\displaystyle \frac{L}{p+q}}),$$すなわち$$v_n={\displaystyle \frac{L}{p+q}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}\}\mathrm{.}$$指数へ戻せば$$a_n=a^{{\displaystyle \frac{1}{p+q}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}\}}\mathrm{.}$$$n=1$ では指数が0となり、$a_1=1$ とも一致する。

$a_n=a^{r_n}$ と見れば、指数だけが一次漸化式で動く

漸化式から正の $p$ 乗根を取り、$a_n=a^{1\mathrm{/}p}{a}_{n-1}^{-q\mathrm{/}p}$ とする。これを順に代入すると指数に有限等比和が現れる。対数を使わず、正数の累乗だけで公式を得る。

条件式と各項の正値性から$$a_n=a^{1\mathrm{/}p}{a_{n-1}}^{-q\mathrm{/}p}$$である。これを繰り返し代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =a^{1\mathrm{/}p}{\left(a^{1\mathrm{/}p}{a_{n-2}}^{-q\mathrm{/}p}\right)}^{-q\mathrm{/}p}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^{{\displaystyle \frac{1}{p}}-{\displaystyle \frac{q}{p^2}}}{a_{n-2}}^{(-q\mathrm{/}p{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$$同様に $a_1=1$ まで戻せば$$a_n=a^{r_n},r_n={\displaystyle \frac{1}{p}}\{1-{\displaystyle \frac{q}{p}}+{\left({\displaystyle \frac{q}{p}}\right)}^2-\cdots +{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-2}\}\mathrm{.}$$有限等比和を計算すると$$r_n={\displaystyle \frac{1}{p}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(-q\mathrm{/}p{)}^{n-1}}{1+q\mathrm{/}p}}={\displaystyle \frac{1-(-q\mathrm{/}p{)}^{n-1}}{p+q}}\mathrm{.}$$よって$$a_n=a^{{\displaystyle \frac{1}{p+q}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}\}}\mathrm{.}$$$a=1$ の場合も右辺は1であり、元の漸化式から得る数列と一致する。