名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

変換行列を$$M=\left(\begin{array}{cc}7& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 5\end{array}\right)$$とする。正方形の隣り合う辺の単位方向ベクトルを$$\mathit{u}=(\cos \theta ,\sin \theta ),\mathit{v}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$とおく。変換後が長方形となる条件は$$(M\mathit{u})\cdot (M\mathit{v})=0$$である。$M$ は対称で$$M^2=\left(\begin{array}{cc}52& 12\sqrt{3}\\ 12\sqrt{3}& 28\end{array}\right)$$だから、左辺を計算すると$$12\sqrt{3}\cos 2\theta -12\sin 2\theta \mathrm{.}$$したがって$$\tan 2\theta =\sqrt{3},\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}(k\in \mathbb{Z})\mathrm{.}$$よって2辺は$${\mathit{e}}_1=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),{\mathit{e}}_2=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$の方向である。原点から両方とも上向きに取れば正方形全体が $y\geqq 0$ に入る。

したがって、任意の $\lambda >0$ に対し、4頂点が$$O,\lambda {\mathit{e}}_1,\lambda {\mathit{e}}_2,\lambda ({\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2)$$である正方形が答えである。

係数の $\sqrt{3}$ から角 ${30}^{\circ }$ の2方向を試す。互いに垂直な2ベクトルがそれぞれ定数倍されることを直接確認すれば、その方向を辺にもつ正方形は長方形へ移る。逆に他の方向では像の2辺が直交しないことを示す。

互いに垂直な単位ベクトル$${\mathit{e}}_1=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),{\mathit{e}}_2=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$を取る。直接計算すると$$M{\mathit{e}}_1=8{\mathit{e}}_1,M{\mathit{e}}_2=4{\mathit{e}}_2\mathrm{.}$$したがって、この2方向を辺にもつ一辺 $\lambda$ の正方形は、辺長 $8\lambda$、$4\lambda$ の長方形へ移る。

他の方向がないことも確かめる。正方形の辺方向を$$\mathit{u}=\cos \varphi {\mathit{e}}_1+\sin \varphi {\mathit{e}}_2,\mathit{v}=-\sin \varphi {\mathit{e}}_1+\cos \varphi {\mathit{e}}_2$$とすると$$(M\mathit{u})\cdot (M\mathit{v})=(4^2-8^2)\sin \varphi \cos \varphi \mathrm{.}$$これが0となるのは $\varphi$ が $\pi \mathrm{/}2$ の整数倍のときだけである。よって辺方向は ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ に限られる。

以上より、4頂点が$$O,\lambda {\mathit{e}}_1,\lambda {\mathit{e}}_2,\lambda ({\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2)(\lambda >0)$$である正方形がすべてである。