名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 指数・対数・微分理系数学 第3問(a)

方程式 $\log x=-x^2+3x+p$ を $p=\log x+x^2-3x$ と書き直す。$x>0$ で $f(x)=\log x+x^2-3x$ とおく。

微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+2x-3={\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x}}={\displaystyle \frac{(2x-1)(x-1)}{x}}$$ である。$x>0$ だから、符号は $(2x-1)(x-1)$ で決まる。したがって $f(x)$ は $0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ で増加し、${\displaystyle \frac{1}{2}}<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。

また $$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$$ である。極大値は$$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\log {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$であり、極小値は $f(1)=0+1-3=-2$ である。
与えられた $\log 2=0.6931\cdots$ から $-2<-{\displaystyle \frac{5}{4}}-\log 2$ であることも確認できる。

したがって、水平線 $y=p$ が $f(x)$ のグラフと相異なる3点で交わるための条件は $-2<p<-{\displaystyle \frac{5}{4}}-\log 2$ である。

水平線が3回交わるのは、極小値と極大値の間だけ

$y=\log x$ と $y=-x^2+3x+p$ が接する $p$ を先に求める。
接線の傾きが等しい条件から接点は $x={\displaystyle \frac{1}{2}},1$。
2つの接触位置の間で平行移動された放物線が3交点をもつ。

交点の個数が変わる境界では、2曲線$$y=\log x,y=-x^2+3x+p$$が接する。接点では傾きが等しいから$${\displaystyle \frac{1}{x}}=-2x+3,(2x-1)(x-1)=0.$$よって接点の候補は $x={\displaystyle \frac{1}{2}},1$ である。

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を元の方程式へ代入すると$$p=-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}\mathrm{.}$$$x=1$ では$$p=-2.$$また $x\to 0+$ では $\log x+x^2-3x\to -\mathrm{\infty }$、
$x\to \mathrm{\infty }$ では $\log x+x^2-3x\to \mathrm{\infty }$ である。
したがって、2つの接触値の間では交点が3個、端では重解を含む
2個になる。ゆえに相異なる3実数解をもつ範囲は$$-2<p<-{\displaystyle \frac{5}{4}}-\log 2.$$