名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

半径2の円 $C$ の中心を原点とし，最初に小さい円 $C^{\mathrm{\prime }}$ の中心が $(3,0)$，点 $A$ が $(4,0)$ にあるように座標をとる。

小さい円の中心が原点のまわりを反時計回りに角 $t$ だけ動いたとき，その中心は$$(3\cos t,3\sin t)$$にある。中心が動いた弧の長さは $3t$ である。半径1の円がすべらずに外側を転がるので，小さい円は中心のまわりに反対向き，すなわち時計回りに角 $3t$ だけ回転する。

最初に中心から外向きにある点 $A$ の座標は$$x=3\cos t+\cos 3t,y=3\sin t-\sin 3t$$と表される。$t=0$ のとき $(x,y)=(4,0)$ であり，初期位置とも一致する。

これを微分すると$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-3\sin t-3\sin 3t,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=3\cos t-3\cos 3t$$である。したがって速さの2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}& {\displaystyle =9\{(\sin t+\sin 3t{)}^2+(\cos t-\cos 3t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9\{2-2\cos (4t)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =36{\sin }^{2}2t}\end{array}$$である。よって速さは $6\mathrm{\mid }\sin 2t\mathrm{\mid }$ である。

小さい円が大きい円のまわりを1周するとき，$0\leqq t\leqq 2\pi$ である。したがって曲線の長さ $L$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }6\mathrm{\mid }\sin 2t\mathrm{\mid }dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\cdot 4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =24}\end{array}$$である。

正しい媒介表示に3倍角の公式を使うと，点 $A$ の軌跡は $x=4{\cos }^{3}t,y=4{\sin }^{3}t$ というアステロイドになる。対称性により第1象限の弧長だけを積分して4倍する。

大円の中心を原点，小円の中心の回転角を $t$ とする。小円は時計回りに角 $3t$ だけ自転するので，点 $A$ は$$x=3\cos t+\cos 3t,y=3\sin t-\sin 3t$$と表される。

3倍角の公式を用いると$$x=4{\cos }^{3}t,y=4{\sin }^{3}t$$となる。これは4つの尖点をもつアステロイドである。第1象限では $0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ であり，$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-12{\cos }^{2}t\sin t,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=12{\sin }^{2}t\cos t$$だから，速さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}}& {\displaystyle =12\sin t\cos t}\end{array}$$である。第1象限の弧長は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L_1}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}12\sin t\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6}\end{array}$$である。軌跡は座標軸について対称だから，全長は$$L=4L_1=24$$である。