名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$0<x<1$ では底 $x$ の対数関数は減少する。真数は$$3x^2-10x+7=(3x-7)(x-1)>0$$なので、与えられた不等式は$$3x^2-10x+7\leqq x^2$$と同値である。よって$$2x^2-10x+7\leqq 0.$$$0<x<1$ と合わせると$$r\leqq x<1,r={\displaystyle \frac{5-\sqrt{11}}{2}}$$を得る。

次の不等式は $x>0$ より$$x^2-2ax\geqq 1⟺a\leqq g(x),g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\mathrm{.}$$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=(1+1\mathrm{/}{x}^2)\mathrm{/}2>0$ なので、すべての $x$ で成り立つための条件は $a\leqq g(r)$ である。計算すると$$g(r)={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{5-\sqrt{11}}{2}}-{\displaystyle \frac{5+\sqrt{11}}{7}})={\displaystyle \frac{25-9\sqrt{11}}{28}}\mathrm{.}$$したがって$$a\leqq {\displaystyle \frac{25-9\sqrt{11}}{28}}\mathrm{.}$$

対数不等式から得る区間を確定した後、$x^2-2ax-1$ が $a$ に関して単調であることを使う。左端で成立する条件が区間全体に十分であることを差の因数分解で直接確認する。

底が $0<x<1$ なので不等号の向きが逆になり$${\log }_x(3x^2-10x+7)\geqq 2⟺2x^2-10x+7\leqq 0.$$したがって許される範囲は$$r\leqq x<1,r={\displaystyle \frac{5-\sqrt{11}}{2}}\mathrm{.}$$左端 $x=r$ でも不等式が必要だから$$r^2-2ar\geqq 1⟺a\leqq A,A={\displaystyle \frac{r^2-1}{2r}}\mathrm{.}$$逆に $a\leqq A$ とする。$x>0$ なので、$-2ax$ は $a$ が小さいほど大きくなる。よって $a=A$ の場合だけ示せば十分である。

$A=(r-1\mathrm{/}r)\mathrm{/}2$ とおくと$$x^2-2Ax-1=x\{x-{\displaystyle \frac{1}{x}}-r+{\displaystyle \frac{1}{r}}\}=x(x-r)(1+{\displaystyle \frac{1}{rx}})\geqq 0$$である。したがって左端の条件は区間全体に十分である。$A$ を整理して$$a\leqq {\displaystyle \frac{25-9\sqrt{11}}{28}}$$を得る。