名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) 変換後の座標を $(X,Y)$ とすると$$X={\displaystyle \frac{x}{2}}-y,Y={\displaystyle \frac{x}{2}}+y\mathrm{.}$$したがって $x=X+Y,y=(Y-X)\mathrm{/}2$ である。元の楕円へ代入すると$${\displaystyle \frac{(X+Y{)}^2}{4}}+{({\displaystyle \frac{Y-X}{2}}-2)}^2=1,$$すなわち$$(X+2{)}^2+(Y-2{)}^2=2\mathrm{.}$$(2) $Q=(x,y)$、$R^2=x^2+y^2$ とおく。同じ半直線上にあり $OP\cdot OQ=8$ だから$$P=({\displaystyle \frac{8x}{R^2}},{\displaystyle \frac{8y}{R^2}})\mathrm{.}$$これを(1)の円へ代入し、両辺に $R^2$ を掛けると$$64+32x-32y+6(x^2+y^2)=0.$$よって軌跡は$$3(x^2+y^2)+16x-16y+32=0\mathrm{.}$$

(1) の円を極座標で表し、同じ偏角をもつ $P,Q$ の動径を $r,\rho$ とする。積 $r\rho =8$ を円の方程式へ代入し、最後に直交座標へ戻す。

(1) 行列による変換を成分で書くと$$X={\displaystyle \frac{x}{2}}-y,Y={\displaystyle \frac{x}{2}}+y\mathrm{.}$$和と差から元へ戻して楕円へ代入すれば$$(X+2{)}^2+(Y-2{)}^2=2$$を得る。

(2) この円上の点 $P$ を$$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$と書くと$$r^2+4r\cos \theta -4r\sin \theta +6=0.$$点 $Q$ は同じ半直線上にあるから$$Q=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ),r\rho =8.$$$r=8\mathrm{/}\rho$ を代入し、$$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$$ と戻すと$$64+32x-32y+6(x^2+y^2)=0.$$したがって$$3(x^2+y^2)+16x-16y+32=0$$である。得られた円は原点を通らないので、対応する $P,Q$ は常に一意に定まる。