名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$Q=A^2-2AB+B^2$$とおく。仮定は $Q=O$ である。積の順序を保ったまま、左から $A$ を掛けた式と右から $B$ を掛けた式を作ると$$AQ=A^3-2A^{2}B+A{B}^2=O,$$$$QB=A^{2}B-2A{B}^2+B^3=O$$である。第1式から第2式を引けば$$AQ-QB=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3=O$$となり、示す式を得る。

(2)

$A=A^{\mathrm{\prime }}$、$B=B^{\mathrm{\prime }}$ とする。与式を転置すると、積の順序が逆になるので$$A^2-2BA+B^2=O$$である。これと元の式との差を取ると$$AB=BA$$を得る。したがって$$O=A^2-2AB+B^2=A^2-AB-BA+B^2=(A-B{)}^2$$である。$$C=A-B=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ v& w\end{array}\right)$$とおく。$C^2=O$ の左上成分と右下成分から$$u^2+v^2=0,v^2+w^2=0$$である。各成分は実数なので $u=v=w=0$。ゆえに $C=O$、すなわち$$A=B$$である。

$C=A-B$ と置いて $A=B+C$ とする。条件を $C^2=CB-BC$ に直し、(1) は非可換な積を順序どおり展開して、この関係だけで消去する。(2) では $C^2$ は転置して変わらない一方、$CB-BC$ は転置で符号が変わることを利用する。

(1) $$C=A-B,A=B+C$$とおく。条件式へ代入して積の順序を保って展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O}& {\displaystyle =(B+C{)}^2-2(B+C)B+B^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =BC-CB+C^2}\end{array}$$であるから$$\begin{array}{cccc}& C^2=CB-BC\mathrm{.}& & \text{(*)}\end{array}$$求める3次式を $B,C$ で展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =B^{2}C-2BCB+B{C}^2+C{B}^2+CBC-2C^{2}B+C^3\mathrm{.}}\end{array}$$$(\ast )$ から$$B{C}^2=BCB-B^{2}C,C^{2}B=C{B}^2-BCB$$であり、さらに$$C^3=C(CB-BC)=C^{2}B-CBC=C{B}^2-BCB-CBC\mathrm{.}$$これらを代入すると、すべての項が打ち消し合って $O$ となる。

(2)

$A,B$ がともに転置して変わらないなら $C=C^{\mathrm{\prime }}$ である。よって $C^2$ も転置して変わらない。一方$$(CB-BC{)}^{\mathrm{\prime }}=BC-CB=-(CB-BC)$$である。$(\ast )$ の両辺を転置した式と元の式を比べると$$C^2=-C^2$$だから $C^2=O$ である。$$C=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ v& w\end{array}\right)$$と書けば、$C^2=O$ の対角成分は$$u^2+v^2=0,v^2+w^2=0.$$したがって $u=v=w=0$ であり、$A-B=C=O$。ゆえに $A=B$ である。