名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

条件 (i) より $d=1-a$ である。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right)$$とおける。このとき$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+b(1-a)\\ ca+(1-a)c& cb+(1-a{)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b\\ c& bc+(1-a{)}^2\end{array}\right)$$である。$$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$とすると$$A^2\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}(a^2+bc)x+by\\ cx+\{bc+(1-a{)}^2\}y\end{array}\right)$$である。よって内積は$$\overrightarrow{p}\cdot A^2\overrightarrow{p}=(a^2+bc)x^2+(b+c)xy+\{bc+(1-a{)}^2\}{y}^2$$である。
これが任意の $x,y$ で $0$ になるためには、2次式の各係数がすべて0でなければならない。したがって $$a^2+bc=0,b+c=0,bc+(1-a{)}^2=0$$ である。

第2式より $c=-b$ である。これを第1式、第3式に代入すると $$a^2=b^2,(1-a{)}^2=b^2$$ となる。よって $a^2=(1-a{)}^2$ であり、$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。さらに $$b^2={\displaystyle \frac{1}{4}},c=-b$$ である。
したがって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。

二次式の3つの係数が、全て0でなければならない

恒等的な二次式の係数を一度に比較する代わりに、
$\overrightarrow{p}=(1,0),(0,1),(1,1)$ を順に代入する。
最初の2本で対角成分を0にし、3本目で非対角成分の和を0にする。

条件(i)より $d=1-a$ であり$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b\\ c& bc+(1-a{)}^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$$\overrightarrow{p}=(1,0)$ を条件(ii)へ代入すると$$\begin{array}{cccc}& a^2+bc=0.& & \text{(1)}\end{array}$$$\overrightarrow{p}=(0,1)$ を代入すると$$\begin{array}{cccc}& bc+(1-a{)}^2=0.& & \text{(2)}\end{array}$$さらに $\overrightarrow{p}=(1,1)$ を代入する。(1),(2)を
用いれば内積は $b+c$ だけになるから$$\begin{array}{cccc}& b+c=0.& & \text{(3)}\end{array}$$任意の $(x,y)$ に対する内積は、(1)--(3)が成り立てば$$(a^2+bc)x^2+(b+c)xy+\{bc+(1-a{)}^2\}{y}^2=0$$となるので、この3条件は十分でもある。

(3) から $c=-b$ である。(1),(2)より$$a^2=b^2,(1-a{)}^2=b^2\mathrm{.}$$したがって $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$、$b=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$、$c=-b$、
$d={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$