名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$$とする。$A^2=A$ の各成分を比較すると$$\begin{array}{cccc}& a^2+b^2=a,b(a+c)=b,b^2+c^2=c\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$b=0$ のとき、$a^2=a,c^2=c$ である。零行列と単位行列を除くと$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$が残る。

$b\mathrm{\ne }0$ のとき、(1)の中央の式から $a+c=1$ であり$$b^2=a-a^2=a(1-a)=ac\mathrm{.}$$逆に $a+c=1,b^2=ac$ なら (1) の3式がすべて成り立つ。

以上を端点も含めてまとめると$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right),b^2=a(1-a),0\leqq a\leqq 1$$である。この形では対角成分の和が1なので、零行列にも単位行列にもならない。

(2) 任意の点 $(x,y)$ の像は$$x\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}b\\ c\end{array}\right)$$である。$0<a<1$ なら $b\mathrm{\ne }0$ で$$\left(\begin{array}{c}b\\ c\end{array}\right)={\displaystyle \frac{b}{a}}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$だから、像はすべて $(a,b)$ を方向ベクトルとする原点通過直線上にある。

$a=1$ の端点では $A$ は $x$ 軸への変換、$a=0$ の端点では $y$ 軸への変換となる。よってすべての場合に、平面上の全点は原点を通る一定の直線上へ移される。

成分条件を $a={\cos }^2\theta ,c={\sin }^2\theta ,b=\sin \theta \cos \theta$ と表す。すると行列は1本の単位方向への射影として因数分解でき、第(1)問の分類と第(2)問の像の直線が同時に分かる。

(1) $A^2=A$ を成分比較し、零行列・単位行列を除くと$$a+c=1,b^2=ac,a,c\geqq 0$$を得る。そこで $0\leqq \theta <\pi$ を用いると、すべての解は$$\begin{array}{cccc}& A=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & {\sin }^2\theta \end{array}\right)& & \text{(1)}\end{array}$$と表せる。実際、$\sin \theta \cos \theta$ は正負の両方を取り、端点の場合も含む。

(1) を直接2乗すると$$A^2=A$$である。また対角成分の和は1だから零行列でも単位行列でもない。

(2) 任意の点を列で表すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}& {\displaystyle =\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)(x\cos \theta +y\sin \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$したがって像は常に$$\{t\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)|t\in \mathbb{R}\}$$という原点を通る一定の直線上にある。