名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 微分・積分理系数学 第4問(a)

面積の定義から$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,G(x)=xf(x)-F(x)\mathrm{.}$$したがって条件は$$xf(x)=(x+2)F(x)\mathrm{.}$$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ より$$x{F}^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+2)F(x)\mathrm{.}$$ここで$${\left\{{\displaystyle \frac{F(x)}{x^2{e}^x}}\right\}}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x{F}^{\mathrm{\prime }}(x)-(x+2)F(x)}{x^3{e}^x}}=0.$$よって $F(x)=C{x}^2{e}^x$ であり$$f(x)=F^{\mathrm{\prime }}(x)=Cx(x+2)e^x\mathrm{.}$$この関数は $f(0)=0$ を満たし$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=C(x^2+4x+2)e^x\mathrm{.}$$したがって厳密な意味の増加関数なら $C>0$ である。広義の単調増加を含める約束なら零関数も含み $C\geqq 0$ となる。逆代入でも面積条件が成り立つ。ゆえに$$f(x)=Cx(x+2)e^x(C>0)$$である。

面積条件 $xf=(x+2)F$ を微分し、さらに $F=xf\mathrm{/}(x+2)$ を代入して $f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}f$ の式を得る。零関数を別に扱い、正の解を積分する。

面積から$$xf(x)=(x+2)F(x),F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$$である。両辺を微分すると$$f+x{f}^{\mathrm{\prime }}=F+(x+2)f\mathrm{.}$$ここへ $F=xf\mathrm{/}(x+2)$ を代入して$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f}}=1+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$$を得る。零関数でない増加関数は $x>0$ で正なので、この式を積分できる。したがって$$\log f=x+\log x+\log (x+2)+\log C$$より$$f(x)=Cx(x+2)e^x\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=C(x^2+4x+2)e^x$ なので、厳密な増加性には $C>0$ が必要十分である。広義の単調増加なら $C=0$ も許される。最後に$${\int }_0^{x}Ct(t+2)e^{t}dt=C{x}^2{e}^x$$を用いれば $G=(x+1)F$ を直接確認できる。