名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
点 $P(x,y)$ がこの1次変換で $P^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ に移るとすると $$x^{\mathrm{\prime }}=tx+y,y^{\mathrm{\prime }}=-x+ty$$ である。2点の差を表すベクトル $(X,Y)$ についても同じ式が成り立つので、変換後の長さの2乗は $$(tX+Y{)}^2+(-X+tY{)}^2=(t^2+1)(X^2+Y^2)$$ である。したがって長さは常に $\sqrt{t^2+1}$ 倍される。

中心 $(0,\alpha )$ は $(0,\alpha )\mapsto (\alpha ,t\alpha )$ に移る。もとの円の半径は1だから、移った図形 $C$ は $\text{中心 }(\alpha ,t\alpha )\text{、半径 }\sqrt{t^2+1}\text{ の円}$ である。

(2) $C$ の中心から $y$ 軸までの距離は $\alpha$ である。$\alpha >1$ なので中心は $y$ 軸の右側にあり、$y$ 軸に接する条件は $$\alpha =\sqrt{t^2+1}$$ である。

また、中心から $x$ 軸までの距離は $\mathrm{\mid }t\alpha \mathrm{\mid }$ であるから、$x$ 軸に接する条件は $$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\alpha =\sqrt{t^2+1}$$ である。上の2式を比べると $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\alpha =\alpha$ であり、$\alpha >0$ より $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=1$ である。これを $$\alpha =\sqrt{t^2+1}$$ に代入して $\alpha =\sqrt{2}$ を得る。したがって $$(\alpha ,t)=(\sqrt{2},1),(\sqrt{2},-1)$$ である。

変換式を逆に解いて、もとの円の方程式へ代入する。得られた標準形から中心・半径と接線条件を読み取る。

(1)

変換後の座標を $(X,Y)$ とすると$$X=tx+y,Y=-x+ty\mathrm{.}$$これを $x,y$ について解けば$$x={\displaystyle \frac{tX-Y}{t^2+1}},y={\displaystyle \frac{X+tY}{t^2+1}}\mathrm{.}$$もとの円の方程式$$x^2+(y-\alpha {)}^2=1$$へ代入して整理すると$$(X-\alpha {)}^2+(Y-t\alpha {)}^2=t^2+1.$$したがって $C$ は中心 $(\alpha ,t\alpha )$、半径 $\sqrt{t^2+1}$ の円である。

(2)

$y$ 軸、$x$ 軸への接触条件はそれぞれ$$\alpha =\sqrt{t^2+1},\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\alpha =\sqrt{t^2+1}\mathrm{.}$$$\alpha >0$ だから $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=1$ であり、$$\alpha =\sqrt{2}\mathrm{.}$$よって$$(\alpha ,t)=(\sqrt{2},1),(\sqrt{2},-1)\mathrm{.}$$