名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

点 $(x,y)$ に対して $u=x+y,v=x-y$ とおく。行列 $A$ により $(x,y)$ が $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ に移るとすると $$x^{\mathrm{\prime }}=ax+by,y^{\mathrm{\prime }}=bx+ay$$ であるから $$u^{\mathrm{\prime }}=x^{\mathrm{\prime }}+y^{\mathrm{\prime }}=(a+b)(x+y)=(a+b)u,$$ $$v^{\mathrm{\prime }}=x^{\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}=(a-b)(x-y)=(a-b)v$$ である。つまり $(u,v)$ で見ると、$A$ は$$\left(\begin{array}{cc}a+b& 0\\ 0& a-b\end{array}\right)$$と同じ働きをする。

まず $b\mathrm{\ne }0$ の場合を考える。このとき $a+b\mathrm{\ne }a-b$ である。$X$ を同じ $(u,v)$ の座標で表した行列を$$Y=\left(\begin{array}{cc}m& n\\ r& s\end{array}\right)$$とおく。$$Y^2=\left(\begin{array}{cc}a+b& 0\\ 0& a-b\end{array}\right)$$ だから$$Y^2=\left(\begin{array}{cc}{m}^2+nr& n(m+s)\\ r(m+s)& rn+s^2\end{array}\right)$$より $$n(m+s)=0,r(m+s)=0$$ が成り立つ。

もし $m+s=0$ ならば $s=-m$ なので、$Y^2$ の2つの対角成分は $$m^2+nr,rn+s^2=rn+m^2$$ となって等しい。これは $a+b\mathrm{\ne }a-b$ に反する。したがって $m+s\mathrm{\ne }0$ であり、$n=0,r=0$ でなければならない。よって $$a+b=m^2\geqq 0,a-b=s^2\geqq 0$$ が必要である。すなわち $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ が必要である。

逆に $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ ならば $a+b\geqq 0$、$a-b\geqq 0$ である。$$m=\sqrt{a+b}$$、$$s=\sqrt{a-b}$$ とおき$$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}m+s& m-s\\ m-s& m+s\end{array}\right)$$とすれば、直接計算により$$X^2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)=A$$となる。したがって $b\mathrm{\ne }0$ では $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ が必要十分である。

次に $b=0$ の場合を考える。このとき $A=aE$ である。$a\geqq 0$ ならば $$X=\sqrt{a}E$$ でよい。$a<0$ のときは $$c=\sqrt{-a}$$ とおけば$$X=\left(\begin{array}{cc}0& -c\\ c& 0\end{array}\right)$$について$$X^2=\left(\begin{array}{cc}-c^2& 0\\ 0& -c^2\end{array}\right)=aE=A$$である。よって $b=0$ ではすべての実数 $a$ が可能である。

以上より、求める範囲は $$a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\text{ の領域と、直線 }b=0\text{ 全体の和}$$ である。図示すると、2直線 $a=b$、$a=-b$ にはさまれる右向きの閉じた領域に、$a$ 軸の負の部分を付け加えたものになる。

$X$ の4成分を直接比較する。$b\mathrm{\ne }0$ では成分条件から $X$ が対称形になることを示し、$a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ を導く。$b=0$ は別に構成する。

行列$$X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$$に対して$$X^2=\left(\begin{array}{cc}{p}^2+qr& q(p+s)\\ r(p+s)& rq+s^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$$b\mathrm{\ne }0$ とする。$X^2=A$ なら$$q(p+s)=r(p+s)=b\mathrm{.}$$したがって $p+s\mathrm{\ne }0$ かつ $q=r$ である。また対角成分の差から$$(p-s)(p+s)=0$$だから $p=s$ である。よって$$a=p^2+q^2,b=2pq\mathrm{.}$$したがって$$a^2-b^2=(p^2-q^2{)}^2\geqq 0,a\geqq 0,$$すなわち $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ が必要である。

逆に $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ なら$$p={\displaystyle \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{2}},q={\displaystyle \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{2}}$$とおき$$X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& p\end{array}\right)$$とすれば $X^2=A$ となる。

$b=0$ のとき、$a\geqq 0$ なら $$X=\sqrt{a}I$$ とすればよい。
$a<0$ なら $$c=\sqrt{-a}$$ として$$X=\left(\begin{array}{cc}0& -c\\ c& 0\end{array}\right)$$とすれば $X^2=aI=A$ となる。

以上より、求める範囲は$$a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$$の領域と、直線 $b=0$ 全体との和である。