名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) 直線 $l$ は$$l:y=x+1$$で、方向ベクトルは$$\mathit{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$である。$Q$ が固定されるので$$\begin{array}{cccc}& A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$l$ 上の点は $Q+t\mathit{v}$ と書ける。これらが再び $l$ 上へ移るための必要十分条件は、ある実数 $\lambda$ によって$$\begin{array}{cccc}& A\mathit{v}=\lambda \mathit{v}& & \text{(2)}\end{array}$$と書けることである。(1),(2)より$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$計算すると$$A=\left(\begin{array}{cc}-1+2\lambda & 1-\lambda \\ -2+2\lambda & 2-\lambda \end{array}\right),\lambda \in \mathbb{R}\mathrm{.}$$(2)$$P=Q-\mathit{v}$$であり、$Q$ は固定、$\mathit{v}$ は1回ごとに $\lambda$ 倍される。したがって$$P_n=Q-{\lambda }^{n-1}\mathit{v}\mathrm{.}$$よって $P_n\to Q$ となるための必要十分条件は$${\lambda }^{n-1}\to 0,$$すなわち$$-1<\lambda <1$$である。求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}-1+2\lambda & 1-\lambda \\ -2+2\lambda & 2-\lambda \end{array}\right),-1<\lambda <1.$$

行列の4成分を直接おき、$Q$ が固定される条件と、$y=x+1$ 上の点の像が同じ直線上にある条件を連立する。直線上の点を $(t,t+1)$ と書けば、反復は1変数の漸化式になり、収束条件を直接判定できる。

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とおく。$AQ=Q$ より$$\begin{array}{cccc}& a+2b=1,c+2d=2.& & \text{(1)}\end{array}$$$l$ 上の点を $(t,t+1)$ とすると、その像は$$((a+b)t+b,(c+d)t+d)\mathrm{.}$$これがすべての $t$ について $y=x+1$ を満たす条件は$$\begin{array}{cccc}& c+d=a+b,d=b+1.& & \text{(2)}\end{array}$$(1),(2)を解くと$$a=1-2b,c=-2b,d=1+b\mathrm{.}$$したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}1-2b& b\\ -2b& 1+b\end{array}\right),b\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$(2) $P_n=(t_n,t_n+1)$ と書く。$P_1=P=(0,1)$ だから $t_1=0$ である。第1成分を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t_{n+1}}& {\displaystyle =(1-2b)t_n+b(t_n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-b)t_n+b\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$t_{n+1}-1=(1-b)(t_n-1)$$であり$$t_n-1=-(1-b{)}^{n-1}\mathrm{.}$$$P_n\to Q=(1,2)$ の必要十分条件は $t_n\to 1$ だから$$\mathrm{\mid }1-b\mathrm{\mid }<1,$$すなわち$$0<b<2.$$したがって条件を満たす行列は$$\left(\begin{array}{cc}1-2b& b\\ -2b& 1+b\end{array}\right),0<b<2$$である。