名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 確率理系数学 第4問(a)

1日の3試合の結果で優勝チームが出ないのは、どのチームも1勝1敗になる場合だけである。これは$$A\text{ が }B\text{ に勝ち、}B\text{ が }C\text{ に勝ち、}C\text{ が }A\text{ に勝つ}$$という向きの循環、またはその反対向きの循環である。

前者の確率は $p^3$ であり、後者の確率は $(1-p{)}^3$ である。したがって1日に優勝チームが出ない確率は $p^3+(1-p{)}^3$ である。よって1日に優勝チームが出る確率は $$1-\{p^3+(1-p{)}^3\}=1-\{p^3+1-3p+3p^2-p^3\}=3p(1-p)$$ である。

第 $n$ 日目に初めて優勝チームが決まるには、最初の $n-1$ 日は優勝チームが出ず、第 $n$ 日目に優勝チームが出ればよい。各日の試合結果は同じ確率で繰り返されるので $$P_n=\{p^3+(1-p{)}^3{\}}^{n-1}3p(1-p)$$ である。したがって $$P_n=3p(1-p)\{p^3+(1-p{)}^3{\}}^{n-1}$$ である。

1日で優勝する確率を、優勝チーム $A,B,C$ の3つの排反な場合へ分けて直接求める。その後は初回成功日の確率として表す。

1日で $A$ が優勝するには、$A$ が $B$ と $C$ の両方に勝てばよい。
その確率は$$p(1-p)$$である。同様に、$B$ が優勝する確率も $p(1-p)$、
$C$ が優勝する確率も $p(1-p)$ である。
これらは排反だから、1日で決着する確率は$$q=3p(1-p)\mathrm{.}$$したがって1日で決着しない確率は$$1-q=1-3p(1-p)=p^3+(1-p{)}^3\mathrm{.}$$第 $n$ 日目に初めて決着するには、未決着が $n-1$ 回続いた後に決着すればよい。よって$$P_n=3p(1-p){\{p^3+(1-p{)}^3\}}^{n-1}\mathrm{.}$$