名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

曲線 $y=x^{-1\mathrm{/}2}$ の $x=a$ における接線の傾きは$$-{\displaystyle \frac{1}{2a^{3\mathrm{/}2}}}\mathrm{.}$$半径 $CP$ は接線に垂直なので$$\begin{array}{cccc}& \tan \theta (a)=2a^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$以下 $\theta =\theta (a)$ と書く。中心を $C=(c,0)$、半径を
$R$ とすると$$R\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}},R\cos \theta =a-c\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{cccc}& R={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\sin \theta }},c=a-{\displaystyle \frac{\cot \theta }{\sqrt{a}}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$高さ $y$ において、円弧部分は$$a\leqq x\leqq c+\sqrt{R^2-y^2}$$を占める。これを $y$ 軸のまわりに回すと円環になるので$$\begin{array}{cccc}& V(a)=\pi {\int }_{-R\sin \theta }^{R\sin \theta }\{{(c+\sqrt{R^2-y^2})}^2-a^2\}dy\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$これは1変数の回転体積分である。

(3) で $y=R\sin t$ とおくと$$-\theta \leqq t\leqq \theta ,dy=R\cos tdt\mathrm{.}$$また $a=c+R\cos \theta$ である。偶関数であることを使って
展開・積分すると$$\begin{array}{cccc}& V(a)=2\pi \{c{R}^2(\theta -\sin \theta \cos \theta )+{\displaystyle \frac{2}{3}}{R}^3{\sin }^3\theta \}\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$(2) を代入すれば$$V(a)=2\pi [(a-{\displaystyle \frac{\cot \theta }{\sqrt{a}}}){\displaystyle \frac{\theta -\sin \theta \cos \theta }{a{\sin }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{2}{3a^{3\mathrm{/}2}}}]\mathrm{.}$$(2)

(1) より$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\theta (a)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$また$$\cot \theta ={\displaystyle \frac{1}{2a^{3\mathrm{/}2}}}$$なので$${\displaystyle \frac{\cot \theta }{\sqrt{a}}}\to 0,\sin \theta \to 1,\theta -\sin \theta \cos \theta \to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$(4) の表式から$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(a)=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\pi }^2\mathrm{.}$$

円弧部分の縦の長さを用い、$y$ 軸まわりの円筒殻として
1変数積分する。$x-c=R\cos t$ の置換で角 $\theta$ を使う。

(1)

接線と半径は垂直なので、中心 $C=(c,0)$、半径 $R$ とすると$$\begin{array}{cccc}& \tan \theta =2a^{3\mathrm{/}2},R={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\sin \theta }},c=a-{\displaystyle \frac{\cot \theta }{\sqrt{a}}},a=c+R\cos \theta \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$円弧部分の $x$ における縦の長さは
$2\sqrt{R^2-(x-c{)}^2}$ である。円筒殻として積分すると$$\begin{array}{cccc}& V(a)=4\pi {\int }_a^{c+R}x\sqrt{R^2-(x-c{)}^2}dx\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(2) で $x-c=R\cos t$ とおく。積分区間は
$\theta$ から $0$ へ移るので$$V(a)=4\pi R^2{\int }_0^{\theta }(c+R\cos t){\sin }^{2}tdt\mathrm{.}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\theta }{\sin }^{2}tdt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\theta -\sin \theta \cos \theta ),}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\theta }\cos t{\sin }^{2}tdt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^3\theta }\end{array}$$を用いると$$V(a)=2\pi \{c{R}^2(\theta -\sin \theta \cos \theta )+{\displaystyle \frac{2}{3}}{R}^3{\sin }^3\theta \}\mathrm{.}$$(1) を代入すると$$V(a)=2\pi [(a-{\displaystyle \frac{\cot \theta }{\sqrt{a}}}){\displaystyle \frac{\theta -\sin \theta \cos \theta }{a{\sin }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{2}{3a^{3\mathrm{/}2}}}]\mathrm{.}$$(2)

$\tan \theta =2a^{3\mathrm{/}2}$ より $\theta \to \pi \mathrm{/}2$ である。
上式では第1項の角因子が $\pi \mathrm{/}2$、第2項が $0$ へ近づくため$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(a)={\pi }^2\mathrm{.}$$