名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
まず $$\alpha +\beta =1,\alpha \beta =2$$ である。したがって $\alpha ,\beta$ は2次方程式 $z^2-z+2=0$ の2つの解である。よって $z=\alpha ,\beta$ のいずれについても $z^2=z-2$ が成り立つ。 $n$ を正整数とする。$\alpha \beta =2$ であるから $\alpha ,\beta$ は0でない。したがって上の式に $z^{n-1}$ を掛けて $z^{n+1}=z^n-2z^{n-1}$ を得る。ここに $z=\alpha$ と $z=\beta$ をそれぞれ代入すると$${\alpha }^{n+1}={\alpha }^n-2{\alpha }^{n-1},{\beta }^{n+1}={\beta }^n-2{\beta }^{n-1}$$である。両式を加えて $${\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}={\alpha }^n+{\beta }^n-2({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})$$ となる。これで(1)が示された。

(2) $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。$s_0=2$、$s_1=\alpha +\beta =1$ であり、(1)より $$s_{n+1}=s_n-2s_{n-1}(n\geqq 1)$$ が成り立つ。初めの2項 $s_0,s_1$ は整数であり、この漸化式の右辺は整数から作られるので、すべての $s_n$ は整数である。

次に偶奇を調べる。漸化式から $s_{n+1}-s_n=-2s_{n-1}$ であるから、$s_{n+1}-s_n$ は偶数である。したがって $s_{n+1}$ と $s_n$ は偶奇が同じである。特に $s_1=1$ は奇数なので、$s_2,s_3,\dots$ もすべて奇数である。

よって、すべての正整数 $n$ に対して ${\alpha }^n+{\beta }^n\text{ は奇数}$ である。

$\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ を使う対称式の恒等式から漸化式を直接導く。その漸化式で整数性と奇数性を同時に帰納する。

(1) $$\alpha +\beta =1,\alpha \beta =2.$$恒等式$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\alpha +\beta )({\alpha }^n+{\beta }^n)}& {\displaystyle ={\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}+\alpha \beta ({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})}\end{array}$$にこの2つの値を代入すると$${\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}={\alpha }^n+{\beta }^n-2({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})$$を得る。

(2)

$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと$$s_1=1,s_2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =-3$$はいずれも奇数である。(1)より$$s_{n+1}=s_n-2s_{n-1}\mathrm{.}$$$s_{n-1},s_n$ が奇整数なら右辺も奇整数だから、数学的帰納法により
すべての正整数 $n$ について $s_n$ は奇数である。