名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・数列文系数学 第3問(a)

(1)
まず $z=1$ の場合を分ける。このとき $S_1=1+1+\cdots +1=N$ である。

次に $z\mathrm{\ne }1$ とする。等比数列の和をそのまま用いると $$(1-z)S_1=(1+z+\cdots +z^{N-1})-(z+z^2+\cdots +z^N)=1-z^N$$ である。仮定より $z^N=1$ だから $(1-z)S_1=0$ となる。いま $z\mathrm{\ne }1$ なので $1-z\mathrm{\ne }0$ であり、$S_1=0$ である。したがって$$S_1=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\end{array}$$である。

(2) $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ であるから、整数 $k$ について $$z^k=\cos k\theta +i\sin k\theta$$ である。したがって$$S_1=\sum _{k=0}^{N-1}{z}^k=\sum _{k=0}^{N-1}\cos k\theta +i\sum _{k=0}^{N-1}\sin k\theta$$となり、$S_2$ は $S_1$ の実部である。よって(1)より$$S_2=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\end{array}$$である。

和 $S_1$ を複素平面上のベクトル和と見る。各項を $z$ 倍すると項が巡回するため和は変わらない。$z\mathrm{\ne }1$ なら、原点以外のベクトルが非自明な回転で不変になることはないので和は0である。$S_2$ はその実部として読む。

(1)
$z=1$ なら各項が1なので$$S_1=N\mathrm{.}$$$z\mathrm{\ne }1$ とする。$z^N=1$ により$$z{S}_1=z+z^2+\cdots +z^N=z+z^2+\cdots +z^{N-1}+1=S_1\mathrm{.}$$従って$$(z-1)S_1=0.$$$z-1\mathrm{\ne }0$ だから $S_1=0$ である。これは複素平面では、正多角形の頂点へ向かうベクトルの和が、回転 $z$ を施しても変わらないため0になることに対応する。よって$$S_1=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\mathrm{.}\end{array}$$(2)$$z^k=\cos k\theta +i\sin k\theta$$だから、$S_2$ は $S_1$ の実部である。従って$$S_2=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\mathrm{.}\end{array}$$