名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 複素数平面・積分理系（後期）数学 第4問(a)

(1) $w=z^2+2z+1=(z+1{)}^2$ である。$w=u+vi$ とおき、三角形 $ABC$ の各辺の像を調べる。

辺 $AB$ では $z=ti$、$0\leqq t\leqq 1$ とおける。したがって $w=(1+ti{)}^2=1-t^2+2ti$ である。よって $u=1-t^2,v=2t$ だから $$u=1-{\displaystyle \frac{v^2}{4}}(0\leqq v\leqq 2)$$ を描く。この弧は $(1,0)$ から $(0,2)$ へ進む。

辺 $BC$ では $z=t+i$、$0\leqq t\leqq 1$ とおける。すると $$w=(1+t+i{)}^2=t^2+2t+2(1+t)i$$ である。よって $$u=t^2+2t,v=2(1+t)$$ となり、$$u={\displaystyle \frac{v^2}{4}}-1(2\leqq v\leqq 4)$$ を描く。この弧は $(0,2)$ から $(3,4)$ へ進む。

辺 $CA$ の点は $z=t(1+i)$、$0\leqq t\leqq 1$ と表せる。この向きは $A$ から $C$ への向きだが、図形としての像は同じである。このとき $$w=(1+t+ti{)}^2=1+2t+2t(1+t)i$$ である。よって $$u=1+2t,v=2t(1+t)$$ であり、$t=(u-1)\mathrm{/}2$ を代入して $$v={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}(1\leqq u\leqq 3)$$ を得る。この弧は $(1,0)$ と $(3,4)$ を結ぶ。

以上より、求める図形は $$u=1-{\displaystyle \frac{v^2}{4}}(0\leqq v\leqq 2),$$ $$u={\displaystyle \frac{v^2}{4}}-1(2\leqq v\leqq 4),$$ $$v={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}(1\leqq u\leqq 3)$$ の3本の放物線弧で囲まれる図形である。頂点は $(1,0),(0,2),(3,4)$ である。

(2)
面積を $v$ 方向の横幅で求める。弧 $CA$ の像は $$v={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}$$ であり、囲まれた領域では右側の境界として $$u=\sqrt{2v+1}$$ と書ける。

一方、左側の境界は $0\leqq v\leqq 2$ では辺 $AB$ の像 $$u=1-{\displaystyle \frac{v^2}{4}}$$ であり、$2\leqq v\leqq 4$ では辺 $BC$ の像 $$u={\displaystyle \frac{v^2}{4}}-1$$ である。したがって面積 $S$ は$$S={\int }_0^2\{\sqrt{2v+1}-(1-{\displaystyle \frac{v^2}{4}})\}dv+{\int }_2^4\{\sqrt{2v+1}-({\displaystyle \frac{v^2}{4}}-1)\}dv$$である。

まず$${\int }_0^4\sqrt{2v+1}dv={\left[{\displaystyle \frac{(2v+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}\right]}_0^4={\displaystyle \frac{27-1}{3}}={\displaystyle \frac{26}{3}}$$である。また$${\int }_0^2(1-{\displaystyle \frac{v^2}{4}})dv={[v-{\displaystyle \frac{v^3}{12}}]}_0^2={\displaystyle \frac{4}{3}}$$であり、$${\int }_2^4({\displaystyle \frac{v^2}{4}}-1)dv={[{\displaystyle \frac{v^3}{12}}-v]}_2^4={\displaystyle \frac{8}{3}}$$である。よって $$S={\displaystyle \frac{26}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{14}{3}}$$ である。

3辺の像を同じ3本の放物線弧として求めた後、今度は $u$ を固定した縦の切片で面積を測る。$0\leqq u\leqq 1$ と $1\leqq u\leqq 3$ で下側境界が変わるため2つの定積分に分け、$\sqrt{2}$ を含む項が打ち消し合うことまで確認する。

(1)
$w=u+vi$ とおく。3辺の像を媒介変数で表すと、$$\begin{array}{ccc}\text{辺}& \text{像の式}& \text{範囲}\\ AB& u=1-{\displaystyle \frac{v^2}{4}}& 0\leqq v\leqq 2\\ BC& u={\displaystyle \frac{v^2}{4}}-1& 2\leqq v\leqq 4\\ CA& v={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}& 1\leqq u\leqq 3\end{array}$$となる。従って頂点 $(1,0),(0,2),(3,4)$ を結ぶ3本の放物線弧が求める図形である。

(2)
縦に切るため各弧を $v$ について解く。$0\leqq u\leqq 1$ では$$2\sqrt{1-u}\leqq v\leqq 2\sqrt{u+1},$$$1\leqq u\leqq 3$ では$${\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}\leqq v\leqq 2\sqrt{u+1}\mathrm{.}$$よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_0^1\{2\sqrt{u+1}-2\sqrt{1-u}\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^3\{2\sqrt{u+1}-{\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}\}du\mathrm{.}}\end{array}$$第1項は$${\displaystyle \frac{8}{3}}(\sqrt{2}-1),$$第2項は$${\displaystyle \frac{22}{3}}-{\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}}$$なので$$S={\displaystyle \frac{14}{3}}\mathrm{.}$$