名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面文系数学 第3問(b)

(1) $z\mathrm{\ne }-1$ で $$f(z)={\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}$$ である。さらに $f(f(z))$ を考えるには $f(z)\mathrm{\ne }-1$ が必要であるが、$f(z)=-1$ は $z-1=-(z+1)$、すなわち $z=0$ を与える。したがって $z\mathrm{\ne }0,-1$ で計算する。

直接代入すると$$f(f(z))={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}-1}{{\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}+1}}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{2}{z+1}}}{{\displaystyle \frac{2z}{z+1}}}}=-{\displaystyle \frac{1}{z}}$$である。条件 $f(f(z))=z+1$ は $-{\displaystyle \frac{1}{z}}=z+1$ であり、$z\mathrm{\ne }0$ だから $z^2+z+1=0$ となる。よって $$z={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$$ である。これらはいずれも $0,-1$ ではない。

(2) $\alpha \mathrm{\ne }0,-1$ として $$f(f(\alpha ))=-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$ である。3点 $0,\alpha ,-1\mathrm{/}\alpha$ が正三角形をなすには、原点から見た2つのベクトル $\alpha$ と $-1\mathrm{/}\alpha$ の長さが等しく、なす角が ${60}^{\circ }$ であればよい。したがって $${\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}\alpha }{\alpha }}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\pm i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ が成り立つ。すなわち $$-{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\pm i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

ここで $$\omega =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ とおく。上の式は $${\alpha }^2=-{\omega }^{-1}\text{または}{\alpha }^2=-\omega$$ である。したがって $${\alpha }^2=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ または $${\alpha }^2=\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$ となる。これらの平方根を取ると$$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}},\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{3}},$$$$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$$である。よって$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$である。

合成 $f(f(z))=-1\mathrm{/}z$ を求めた後、正三角形条件を距離から始める。まず $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ を得て $\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$ と置き、$-1\mathrm{/}\alpha$ との偏角差が $\pm \pi \mathrm{/}3$ であることから4つの角を列挙する。

直接計算すると、$z\mathrm{\ne }0,-1$ で$$f(f(z))=-{\displaystyle \frac{1}{z}}$$である。

(1) $$-{\displaystyle \frac{1}{z}}=z+1$$より $z^2+z+1=0$ である。従って$$z={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}\mathrm{.}$$(2)
正三角形の原点から出る2辺の長さが等しいので$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mid -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\mid \mathrm{.}$$従って $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ であり$$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$$と置ける。このとき$$-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=-\bar{\alpha }=\cos (\pi -\theta )+i\sin (\pi -\theta )\mathrm{.}$$2本の辺のなす角が ${60}^{\circ }$ だから$$\pi -2\theta \equiv \pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )\mathrm{.}$$従って$$\theta \equiv {\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},{\displaystyle \frac{4\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )\mathrm{.}$$よって$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\mathrm{.}$$