名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）文系数学 第3問(b)

まず$$A=\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\end{array}\right)$$と書ける。したがって$$A^2=\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\end{array}\right)=(1+ab)A$$である。また$$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-a\\ b-ab\end{array}\right)=(1-a)\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)$$である。よって$$A^2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=(1+ab)(1-a)\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)$$となる。列ベクトル $\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)$ は零ベクトルではないので，問題の条件は $(1-a)(1+ab)=0$ と同値である。

(1) $$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\mathrm{\ne }\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ならば，上で得た式より $a\mathrm{\ne }1$ である。したがって条件 $(1-a)(1+ab)=0$ から $1+ab=0$ が従う。ゆえに $A^2=(1+ab)A=O$ である。

(2) $$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$より $1-a=0$ であるから $a=1$ である。このとき$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ b& b\end{array}\right),A^2=(1+b)A$$である。さらに $A^3=(1+b)A^2=(1+b{)}^{2}A$ なので $A^3-4A=\{(1+b{)}^2-4\}A$ である。ここで $A$ は左上成分が1であるから零行列ではない。したがって $(1+b{)}^2-4=0$ となる。よって $1+b=2,1+b=-2$ から $b=1,b=-3$ である。 $b=1$ のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),A^2=2A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$である。$b=-3$ のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -3\end{array}\right),A^2=-2A=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 6& 6\end{array}\right)$$である。以上が求める $A,A^2$ である。

行列 $A$ の像は1本の直線上

$A$ が任意のベクトルを $(1,b{)}^T$ の定数倍へ写すことを使う。
写像を2回行ったときの倍率から、問題の2条件をそれぞれ処理する。

任意の列ベクトルに対して$$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=(x+ay)\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)$$である。特に$$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=(1-a)\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)=(1+ab)\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって与えられた条件は$$(1-a)(1+ab)=0$$と同値である。

(1)
$A(1,-1{)}^T\mathrm{\ne }(0,0{)}^T$ なら $a\mathrm{\ne }1$ であるから $1+ab=0$ である。
任意のベクトルは1回目で $(1,b{)}^T$ の倍数へ写り、2回目には倍率 $1+ab=0$ が掛かる。
したがって $A^2=O$ である。

(2)
$A(1,-1{)}^T=(0,0{)}^T$ より $a=1$ である。このとき $A$ の像の直線上では
$A$ は $1+b$ 倍として作用するので$$A^2=(1+b)A,A^3=(1+b{)}^{2}A\mathrm{.}$$$A\mathrm{\ne }O$ だから $A^3-4A=O$ より$$(1+b{)}^2=4.$$$b=1,-3$ を得る。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),$$または$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -3\end{array}\right),A^2=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 6& 6\end{array}\right)$$である。