名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
点の差を表すベクトル $(X,Y)$ は、変換後に $(X,Y)\mapsto (tX+Y,-X+tY)$ となる。この長さの2乗は $$(tX+Y{)}^2+(-X+tY{)}^2=(t^2+1)(X^2+Y^2)$$ である。したがってこの変換は長さを $\sqrt{t^2+1}$ 倍する。

中心 $(0,a)$ は $(0,a)\mapsto (a,ta)$ に移るので、$C$ は中心 $(a,ta)$、半径 $\sqrt{t^2+1}$ の円である。 $C$ が $x$ 軸と交わるための条件は、中心から $x$ 軸までの距離が半径以下であることだから $$\mathrm{\mid }ta\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{t^2+1}$$ である。両辺は0以上なので2乗して $a^2{t}^2\leqq t^2+1$ すなわち $(a^2-1)t^2\leqq 1$ となる。$a>1$ より $a^2-1>0$ だから $$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-1}}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-1}}}$$ である。

(2) $y$ 軸に接する条件は、中心から $y$ 軸までの距離が半径に等しいことなので $$a=\sqrt{t^2+1}$$ である。また $x$ 軸に接する条件は $$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }a=\sqrt{t^2+1}$$ である。2式を比べると $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }a=a$ であり、$a>0$ より $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=1$ となる。これを $$a=\sqrt{t^2+1}$$ に代入して $a=\sqrt{2}$ を得る。よって $$(a,t)=(\sqrt{2},1),(\sqrt{2},-1)$$ である。

変換式を逆に解き、もとの円の方程式へ代入して $C$ の標準形を作る。交点・接点の条件を中心から座標軸までの距離で表す。

(1)

変換後の座標を $(X,Y)$ とすると$$X=tx+y,Y=-x+ty,$$したがって$$x={\displaystyle \frac{tX-Y}{t^2+1}},y={\displaystyle \frac{X+tY}{t^2+1}}\mathrm{.}$$これを$$x^2+(y-a{)}^2=1$$へ代入すると$$(X-a{)}^2+(Y-ta{)}^2=t^2+1.$$よって $C$ の中心は $(a,ta)$、半径は $\sqrt{t^2+1}$ である。
$x$ 軸と交わる条件は$$\mathrm{\mid }ta\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{t^2+1}\mathrm{.}$$$a>1$ を用いて整理すると$$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-1}}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-1}}}\mathrm{.}$$(2)

両軸へ接する条件は$$a=\sqrt{t^2+1},\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }a=\sqrt{t^2+1}\mathrm{.}$$したがって $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=1,a=\sqrt{2}$ であり、$$(a,t)=(\sqrt{2},1),(\sqrt{2},-1)\mathrm{.}$$