名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）・数列文系数学 第3問(b)

(1) $d=1+2a$ とおく。仮定 $a\mathrm{\ne }-1\mathrm{/}2$ より $d\mathrm{\ne }0$ である。まず$$E+2A_1=\left(\begin{array}{cc}d& 0\\ 2b& d\end{array}\right)$$であるから$$(E+2A_1{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{d}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{2b}{d^2}}& {\displaystyle \frac{1}{d}}\end{array}\right)$$である。等式 $A_2(E+2A_1)=-A_1$ の右から $(E+2A_1{)}^{-1}$ をかけると $A_2=-A_1(E+2A_1{)}^{-1}$ なので$$A_2=-\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{d}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{2b}{d^2}}& {\displaystyle \frac{1}{d}}\end{array}\right)$$である。成分を計算すると、左下成分は$$-({\displaystyle \frac{b}{d}}-{\displaystyle \frac{2ab}{d^2}})=-{\displaystyle \frac{b(d-2a)}{d^2}}=-{\displaystyle \frac{b}{d^2}}$$となる。したがって$$A_2=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{b}{(1+2a{)}^2}}& -{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}\end{array}\right)$$である。

(2) $B_n=E+2A_n$ とおく。(1)で $B_1$ は逆行列をもつ。漸化式より $A_{n+1}{B}_n=-A_n$ であるから、$B_n$ が逆行列をもつとき $A_{n+1}=-A_n{B}_n^{-1}$ である。よって $$B_{n+1}=E+2A_{n+1}=E-2A_n{B}_n^{-1}$$ である。ここで $E=B_n{B}_n^{-1}$ と書けば $$B_{n+1}=(B_n-2A_n)B_n^{-1}=E{B}_n^{-1}=B_n^{-1}$$ となる。したがって $$B_{n+2}=B_{n+1}^{-1}=B_n$$ であり、$A_{n+2}=A_n$ である。

ゆえに $A_n$ は奇数番目と偶数番目で交互に現れ、$$A_n=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)& (n\text{ が奇数}),\\ \left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{b}{(1+2a{)}^2}}& -{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}\end{array}\right)& (n\text{ が偶数})\end{array}$$である。

各行列の形を $\left(\begin{array}{cc}{x}_n& 0\\ y_n& x_n\end{array}\right)$ と固定し、積の各成分を比較して $(x_n,y_n)$ の変換を求める。同じ変換をもう一度施すと元へ戻ることを直接確かめ、奇数番・偶数番の式を得る。

すべての $n$ について$$A_n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& 0\\ y_n& x_n\end{array}\right)$$と書けることを、以下の計算と帰納法で同時に確かめる。$d_n=1+2x_n$ とおくと$$E+2A_n=\left(\begin{array}{cc}{d}_n& 0\\ 2y_n& d_n\end{array}\right)\mathrm{.}$$$A_{n+1}$ の成分を $x_{n+1},y_{n+1}$ として積を比較すると$$x_{n+1}{d}_n=-x_n,y_{n+1}{d}_n+2x_{n+1}{y}_n=-y_n\mathrm{.}$$従って$$x_{n+1}=-{\displaystyle \frac{x_n}{d_n}},1+2x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{d_n}},y_{n+1}=-{\displaystyle \frac{y_n}{d_n^2}}\mathrm{.}$$初めは $d_1=1+2a\mathrm{\ne }0$ であり、次の $d_{n+1}=1\mathrm{/}{d}_n$ も0ではないので、この計算は常に可能である。

(1)
$(x_1,y_1)=(a,b)$ を代入して$$A_2=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{b}{(1+2a{)}^2}}& -{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
上の変換をもう一度施すと、$d_{n+1}=1\mathrm{/}{d}_n$ だから$$x_{n+2}=-{\displaystyle \frac{-x_n\mathrm{/}{d}_n}{1\mathrm{/}{d}_n}}=x_n,y_{n+2}=-{\displaystyle \frac{-y_n\mathrm{/}{d}_n^2}{(1\mathrm{/}{d}_n{)}^2}}=y_n\mathrm{.}$$従って $A_{n+2}=A_n$ であり、$$A_n=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& a\end{array}\right)& (n\text{ が奇数}),\\ \left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{b}{(1+2a{)}^2}}& -{\displaystyle \frac{a}{1+2a}}\end{array}\right)& (n\text{ が偶数})\end{array}$$となる。