名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

円の中心を $C=(h,r)$ とおく。円は$x$軸に上から接しているので、半径は中心の$y$座標に等しく、$r>0$である。

放物線との接点は $A=(a,a^2)$ である。放物線$y=x^2$の$x=a$における接線の傾きは$2a$である。円と放物線が接するので、半径$CA$はこの接線に垂直であり、その傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$ である。円は放物線に右側から接するので、中心は$A$より右側の法線上にある。そこで$\lambda >0$を用いて $$C=(a+\lambda ,a^2-{\displaystyle \frac{\lambda }{2a}})$$ とおく。

中心の高さは半径に等しいので $$r=a^2-{\displaystyle \frac{\lambda }{2a}}$$ である。一方、$CA$の長さも半径であり、$$CA=\sqrt{{\lambda }^2+{\left({\displaystyle \frac{\lambda }{2a}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\lambda \sqrt{4a^2+1}}{2a}}$$である。したがって $$a^2-{\displaystyle \frac{\lambda }{2a}}={\displaystyle \frac{\lambda \sqrt{4a^2+1}}{2a}}$$ である。 $$s=\sqrt{4a^2+1}$$ とおくと、上の式は $2a^3=\lambda (s+1)$ となるので $$\lambda ={\displaystyle \frac{2a^3}{s+1}}$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{2a^3}{s+1}}={\displaystyle \frac{a(s-1)}{2}}$$ であるから $$h=a+\lambda =a+{\displaystyle \frac{a(s-1)}{2}}={\displaystyle \frac{a(s+1)}{2}}$$ である。また $$r=a^2-{\displaystyle \frac{\lambda }{2a}}=a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{s+1}}={\displaystyle \frac{a^{2}s}{s+1}}$$ である。

したがって円の中心は$$C({\displaystyle \frac{a(1+\sqrt{4a^2+1})}{2}},{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{4a^2+1}}{1+\sqrt{4a^2+1}}})$$である。

円の中心を $C(h,r)$ と置き、円と放物線の交点を決める方程式 $F(x)=0$ を作る。接点 $x=a$ が重解であることを $F(a)=F^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ で表し、$d=a^2-r$ を導入して2次方程式へ落とす。最後に「右側から」の条件 $h>a$ で符号を選ぶ。

円は $x$ 軸に上から接するので、中心を $C(h,r)$ とすれば半径も $r$ であり、円の方程式は$$(x-h{)}^2+(y-r{)}^2=r^2\mathrm{.}$$放物線 $y=x^2$ を代入して$$F(x)=(x-h{)}^2+(x^2-r{)}^2-r^2$$と置く。$x=a$ で両曲線が接するから、$a$ は $F(x)=0$ の重解であり、$$F(a)=0,F^{\mathrm{\prime }}(a)=0$$が成り立つ。

微分した式から$$2(a-h)+4a(a^2-r)=0.$$$d=a^2-r$ と置くと$$h=a+2ad\mathrm{.}$$これを $F(a)=0$ へ代入すると$$4a^2{d}^2+a^4-2a^{2}r=0.$$$r=a^2-d$ を使い、$a>0$ で割れば$$4d^2+2d-a^2=0.$$したがって$$d={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{4a^2+1}}{4}}\mathrm{.}$$円は放物線に右側から接するので $h>a$、すなわち $d>0$ である。よって$$d={\displaystyle \frac{\sqrt{4a^2+1}-1}{4}}\mathrm{.}$$$$s=\sqrt{4a^2+1}$$ と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h}& {\displaystyle =a+2ad={\displaystyle \frac{a(1+s)}{2}},}\\ {\displaystyle r}& {\displaystyle =a^2-d=a^2-{\displaystyle \frac{s-1}{4}}={\displaystyle \frac{a^{2}s}{1+s}}\mathrm{.}}\end{array}$$最後の変形では $(s-1)(s+1)=4a^2$ を用いた。したがって$$C({\displaystyle \frac{a(1+\sqrt{4a^2+1})}{2}},{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{4a^2+1}}{1+\sqrt{4a^2+1}}})\mathrm{.}$$